Deducción de las ecuaciones de movimiento y condiciones de contorno de una placa delgada sometida a vibraciones libres mediante el método variacional

Abstract

El objetivo de este trabajo es obtener la ecuación de movimiento y las condiciones de con-torno para una placa delgada de bordes libres que sufre pequeñas deflexiones. Debido a que no es posible deducir matemáticamente las condiciones de contorno mediante las leyes de Newton, se estudia el sistema desde el punto de vista de la energía para luego aplicar el método variacional. De esta manera, se necesita estudiar cantidades que puedan caracterizar a las fuerzas que actúan sobre el sistema, así como las deformaciones que sufre y la relación entre ellas, tales cantidades resultan ser magnitudes tensoriales de segundo orden, denominadas tensores de deformación y de tensión. El tensor de deformación se obtiene mediante un análisis del cuerpo deformado, mientras que el tensor de tensiones se obtiene de analizar las implicaciones que tienen las fuerzas externas al interior del cuerpo. Asimismo, se debe hacer una revisión de la teoría de placas basada en las hipótesis de Kirchhoff. Estos conceptos permitirán obtener expresiones para la energía cinética, la energía potencial, y sus variaciones necesarias para aplicar el principio de Hamilton. Así, se muestra que es posible deducir las condiciones de contorno y la ecuación de movimiento para placas delgadas de bordes libres usando el método variacional.

The objective of this work is to obtain the equation of motion and boundary conditions for a thin free-edge plate undergoing small deflections. Since it is not possible to mathematically derive the boundary conditions by laws of Newton, the system is studied from the energy point of view and then the variational method is applied. In this way, it is necessary to study quantities that can characterize the forces acting on the system as well as the deformations it undergoes and the relationship between them, such quantities are called strain and stress tensors. The strain tensor is obtained by analyzing the deformed body, while the stress tensor is obtained by analyzing the implications of external forces inside the body. A review of the plate theory based on Kirchhoff’s hypotheses should also be made. These concepts will allow obtaining expressions for kinetic energy, potential energy and their variations necessary to apply principle of Hamilton. Thus, it is shown that it is possible to derive the boundary conditions and the equation of motion for thin plates with free edges using the variational method.