Existencia de ciclos limites

Abstract

En el presente trabajo se realiza el estudio de la Existencia de Ciclos Límites en Sistemas Dinámicos de la forma: x' — y — F(x), y1 = —g(x). Este sistema puede tener uno o más ciclos límites el cual dependerá de las características propias de la función y = F(x), además, si el sistema tiene más de un ciclo límite estos estarán distribuidos de diferentes maneras dependiendo del número de puntos singulares que pueda tener el sistema. Si consideramos que el sistema dado, tiene como único punto singular el origen (0,0), si f(x) = F’(x), y n el número de ceros positivos de f(x) en el intervalo <0,d>. Se puede encontrar condiciones apropiadas para la función y=F(x) de modo que el sistema tenga al menos n ciclos límites. En el presente trabajo probaremos el teorema que sigue. Teorema. Supongamos que en el sistema x' = y — F(x), y’ = —g(x), F(x) y g(x) satisfacen las condiciones: 1) : F(-x) = -F{x) y g(-x) = -g(x) 2) : En el intervalo (0,b), f(x) tiene a lo más n ceros: 0< α1< α2 < ... < α1n < b; y F(α0) = 0 , F(α1) < 0 y F(αk). F(αk+1) < 0 , k = 1, 2, ...,n donde 0 = α0 y αn+1 = b 3) (-l)k F(αk) < (-l)k F(ak+2) y (-1)k+1F(ak+1) > (-1)k F(ak) + 2G(βk+1) para k = l,2,...,n - 1 donde βc+1 Ɛ (α k+1, α k+2) y F(βk+1) = F(α k). Entonces en la franja |x| ≤ b, el sistema dado tiene a lo más n ciclos límites.