K-Theoretic Version of Fourier-Mukai Transforms Between Crepant Resolutions of Finite Quotient Singularities

Abstract

We study crepant resolutions of singularities C³/G, where G is a finite abelian subgroup of SL(3,C). Using derived category methods, Bridgeland, King and Reid proved that the Hilbert scheme of G-clusters (G-Hilb)(C³) is a crepant resolution. Following Craw-Ishii, we study the moduli spaces Mθ of θ-stable G-constellations, in particular, (G-Hilb)(C³) is a moduli space of this type for a suitable parameters in the GIT-parameter space, while all crepant resolutions are of the form Mθ for some θ. The GIT-parameter space is divided into chambers, and for parameters in adjacent chambers, theMθ spaces are Fourier-Mukai partners. Following Craw-Ishii we study how the Fourier-Mukai transform between partners can induce a change in the tautological line bundles. As an application, we study the case of C³/Z₄. We outline the toric description of the singularity and its crepant resolution. Using Chern classes we determine the cohomological Fourier-Mukai transform between Fourier- Mukai partners, that are moduli spaces for adjacent chambers. In general, for the singularities C³/G, we also determine the cohomological Fourier- Mukai transform as a linear transformation between the cohomology rings.

Estudiamos resoluciones crepantes de singularidades C³/G, donde G es un subgrupo abeliano finito de SL(3,C). Utilizando métodos de categorías derivadas, Bridgeland, King y Reid demostraron que el esquema de Hilbert de grupos G (G-Hilb)(C³) es una resolución crepante. Siguiendo a Craw-Ishii, estudiamos los espacios de módulos Mθ de constelaciones G θ-estables, en particular, (G-Hilb)(C³) es un espacio de módulos de este tipo para parámetros adecuados en el espacio de parámetros GIT, mientras que todos las resoluciones crepantes son de la forma Mθ para algunos θ. El espacio de parámetros GIT se divide en cámaras, y para los parámetros de cámaras adyacentes, los espacios Mθ son socios de Fourier-Mukai. Siguiendo a Craw-Ishii estudiamos cómo la transformada de Fourier-Mukai entre socios puede inducir un cambio en los haces de líneas tautológicas. Como aplicación, estudiamos el caso de C³/Z₄. Esbozamos la descripción tórica de la singularidad y su crepante resolución. Usando clases de Chern determinamos la transformada cohomológica de Fourier-Mukai entre socios de Fourier-Mukai, que son espacios de módulos para cámaras adyacentes. En general, para las singularidades C³/G, también determinamos la transformada cohomológica de Fourier-Mukai como una transformación lineal entre los anillos de cohomología.