Homología de Hochschild y homología cíclica para intersección completa con singularidades aisladas

Abstract

La tesis de doctorado se realizó en cooperación con la Universidad de Buenos Aires y la UNI. Asesor Externo: Dr. Guillermo Cortiñas, UBA, Buenos Aires, Argentina. Asesor Local: Dr. Christian Valqui, UNI. Sea A = R / I un anillo regular de funciones de una variedad algebraica con una singularidad aislada en el punto racional  donde (R, ) es un anillo r.l.e.t.f de dimensión m,e I es un ideal de intersección completa. El teorema de HKR para el álgebra diferencial graduada R ® A V nos lleva a expresar homología cíclica y de Hochschild del álgebra R / I en función de la cohomología de los complejos Lj y Dj. En el primer capítulo desarrollamos las herramientas necesarias para poder llegar a este resultado. En este trabajo suponemos que el anillo R / I tiene sólo una singularidad aislada en  . En caso de que el ideal I = (f) sea principal, los módulos de cohomología de los complejos Lj y Dj fueron calculados por Hülb en “Divided Powers and Hochschild Homology of Complete Intersections” y por Michler en “Torsion of diferentials of hypersurfaces with isolated singularities” cuando R es el anillo de polinomios. La fórmula Hm-1 (Lj) = Tor.(R/I,R/Jf) para valores j ≥ m se debe a que ht(Jf) = dim(R) = m. Nuestro estudio se centra en calcular los módulos de cohomología de los complejos Lj y Dj, cuando el ideal I = (f1,…fr) es generado por una intersección completa con una singularidad aislada en . Los cálculos que se presentan no se encuentran en la literatura. En este caso se tiene que ht(JF ) = m-r+I para una icis I = (f1,…fr). Notemos que en el caso particular que r = 1 obtenemos ht(JF) = m. Uno de los principales resultados del trabajo es el Teorema de Clasificación de Singularidades Aisladas. A grandes rasgos este teorema nos dice que toda icis I = (f1,…fr) puede ser generado por elementos g1… gr, donde cada uno de los g1 tiene una singularidad aislada en . Este teorema permite generalizar los métodos de cálculos para un solo polinomio, al caso de un ideal que sea una icis generado por r polinomios. En el caso que el ideal este generado por una secuencia regular de longitud dos llegamos a los siguientes resultados: H' (Lj) = 0, para todo i < m-1, e ij. Cuando j = m + k > m-1 presentamos la secuencia espectral E que converge a la cohomología del complejo Lm+k, y colapsa en E2. Calculamos los módulos de cohomología de los complejos Lm+k en nivel m y m - 2, para el término en grado m-1 hallamos su dimensión. Cuando Lm-1 llegamos a la siguiente igualdad Hm_l(Lm_1) = Tor.(Jf / Jfg,R/I). Mostramos que la cohomología de los complejos Lj para j<m-1es exacta. En la Sección 2.3 generábamos los resultados de la sección anterior al caso de r polinomios. En el tercer capítulo, debido a que los complejos L,tienen cohomología cero para todo término menor que m - r , y al saber la imagen de la aplicación S en la secuencia SBI expresamos los módulos de cohomología de los complejos Dj, para grados menores que m - r - 1, en función de la cohomología de Rham del álgebra R/I2, para algún s adecuado. Los demás términos se encuentran en secuencia exacta corta, y pueden ser calculados de manera recurrente. Cuando S= 0 expresamos los módulos de cohomología de los complejos Dj en función de los módulos de cohomología de los complejos Lj. Los complejos que proporcionan la homología cíclica negativa Ω2p para p>0 se descompone en casi un producto tensorial de complejos. En el caso r=2 esto permite tomar un subcomplejo Ω2m. El complejo cociente Ω2m / Ω2mf es isomorfo a Ω2mf. Mostramos una secuencia espectral que se genera a partir de este subcomplejo. Este estudio permite presentar una secuencia espectral que converge a la cohomología de Ω2m.