El teorema de Szemerédi, consecuencias en la distribución de números primos y perspectivas

Abstract

El teorema de Szemerédi clásico muestra la existencia de progresiones aritméticas de longitud arbitraria en subconjuntos de los números naturales que tengan densidad superior positiva. En este trabajo abordamos varias pruebas del teorema de Szemerédi a través de distintos marcos teóricos: análisis de Fourier, teoría ergódica, y normas de Gowers. Inicialmente estudiamos el teorema de Szemerédi para progresiones aritméticas de longitud tres, es decir, el teorema de Roth, por medio del análisis de Fourier en ZN y argumentos de incrementos de la densidad, y hacemos uso de las normas de Gowers para controlar el número de progresiones aritméticas de longitud tres. Estas normas simplifican significativamente los cálculos obtenidos por uso exclusivo del análisis de Fourier en ZN, a costa de una ralentización del in- cremento de la densidad. A pesar de ello, vía las normas de Gowers se obtiene el caso general del teorema de Szemerédi para progresiones aritméticas de longitud mayor o igual que tres. Abordaremos el teorema de Szemerédi para progresiones de longitud cuatro haciendo uso de las normas de Gowers, y en seguida probaremos el caso general del teorema de Szemerédi por medio de la teoría ergódica. Finalmente, siguiendo los trabajos de Green y Tao, mostraremos que los números primos contienen progresiones aritméticas de longitud arbitraria. Dado que el conjunto de los números primos tiene densidad superior nula dos hechos son relevantes para demostrar el teorema de Green y Tao: una importante variante del teorema de Szemerédi en el ámbito de medidas pseudoaleatorias, y la existencia de una medida pseudoaleatoria que mayore cierto conjunto de números primos.

The classical Szemeredi’s theorem shows the existence of arbitrarily long arithmetic pro- gressions in subsets of natural numbers that have positive upper density. In this paper we address several proofs of the Szemeredi’s theorem through different theoretical frameworks: Fourier analysis, ergodic theory, and Gowers norms. Initially we study Szemeredi’s theorem for arithmetic progressions of length three, known as Roth’s theorem, through Fourier analysis in ZN and incremental density arguments, and we make use of Gowers norms to control the number of arithmetic progressions of length three. These norms significantly simplify the calculations obtained by the exclusive use of Fourier analysis in ZN, while slowering the density increment. However, by the use of Gowers norms we obtain the general case of Sze- meredi’s theorem for arithmetic progressions of lenght greater or equal than three. We deal with Szemeredi’s theorem of progressions of length four by making use of Gowers norms, and then we prove the general case of Szemeredi’s theorem with ergodic theory. Finally, following the work of Green and Tao, we show that the set of prime numbers contain arbitrarily long arithmetic progressions. Because the set of primes numbers has upper density zero, two facts are relevant to demonstrate Green-Tao theorem: an important variant of Szemeredi’s theorem in the context of pseudorandom measures, and the existence of a pseudorandom measure that bounds a certain set of prime numbers.