Aspectos fundamentales de la geometría algebraica

Abstract

A lo largo de todo el trabajo, k denotará un cuerpo fijo algebraicamente cerrado. En el capítulo 1 definimos las herramientas principales de la geometría algebraica, a saber, las variedades algebraicas. Dedicamos una sección a las variedades afines y otra a las variedades proyectivas, con un preámbulo acerca de la necesidad de introducir las variedades proyectivas en nuestro estudio (teorema de Bezout). Definimos el anillo de funciones, que nos permite tender un puente entre los elementos topológicos (variedades) y los elementos algebraicos. Terminamos definiendo la categoría de variedades, es decir, los morfismos entre estos objetos, y probando la equivalencia de dicha categoría con la de k-álgebras finitamente generadas. En el capítulo 2 empezamos por definir los conceptos de punto y variedad singulares, en sus versiones geométrica y algebraica. También incluimos una sección dedicada a los anillos de valoración discreta, herramienta del álgebra que nos resultará muy útil, para finalmente probar la existencia de una sola curva proyectiva no singular en cada da.se de equivalencia birracional. Hacemos esto con ayuda de una herramienta abstracta llamada curva abstracta no singular, que es fija para cada extensión finitamente generada K / k de grado de trascendencia l. En el capítulo 3 echamos un vistazo a los objetos de la geometría algebraica moderna, los esquemas. Para esto es necesario primero definir el con­cepto de haz y los correspondientes morfismos entre estos. Damos a continuación los conceptos básicos de la categoría de esquemas, incluyendo la prueba de la equivalencia entre dicha categoría y la de anillos conmutativos con identidad. Terminamos este capítulo con la definición del funtor que relaciona a los esquema son las variedades algebraicas, definidas en la primera parte del trabajo. Finalmente hacemos hincapié en los principales resultados obtenidos en este trabajo, así como también damos referencias de hacia dónde está orientado el mismo, y de qué maneras se puede continuar esta investigación.