El principio variacional de ekeland y algunas de sus aplicaciones

Abstract

El Principio Variacional de Ekeland, desde que apareció en 1972, ha tenido muchas aplicaciones en diferentes campos del análisis. Por ejemplo, este Principio es aplicado en Ecuaciones Diferenciales Parciales; en la demostración de Teoremas de Min – Max en el Análisis convexo. En este trabajo, esencialmente presentaremos el Principio Variacional de Ekeland y su aplicación en la demostración de un Teorema de Min-Max de Ambrosetti y Rabinowitz. Luego, en menor proporción, veremos una aplicación de este Principio en el Análisis Convexo para estudiar los puntos de soporte de una funcional y las funcionales de soporte de conjuntos convexos. El primer capítulo es dedicado a establecer algunas definiciones y argumentos teóricos que serán utilizados posteriormente. Ahí, consideraremos funciones f X --- R donde X es, en general, un espacio topológico de Hausdorff. A este tipo de funciones la llamaremos funcionales. Definiremos los conceptos de funcionales inferiormente continuas; el subdiferencial de una funcional y el índice de puntos fijos. También serán establecidos algunos resultados importantes sobre estos conceptos. El segundo capítulo es la parte central de este trabajo. Ahí, estableceremos el Principio Variacional de Ekeland en sus versiones débil y fuerte. Inmediatamente después veremos algunas aplicaciones directas de este principio a la Teoría de Puntos Fijos y a funcionales definidas en espacios de Banach. Como consecuencia de lo anterior obtendremos algunos resultados de funciones que satisfacen la famosa condición de Palais-Smale (condición P-S). La parte central del capítulo 3 es la aplicación del Principio Variacional de Ekeland en la demostración del Principio Variacional de tipo Min-Max de Ambrosetti-Rabinowitz. Previamente caracterizaremos el subdiferencial de la funcional Q – E — R definida por o (x) max x(t), donde K es un espacio métrico compacto y E es el espacio vectorial real de todas las funcionales continuas definidas en K. El capítulo 4 es dedicado a aplicaciones del Principio Variacional de tipo Min-Max visto en el capítulo 3. Ahí veremos el Teorema del Paso de la Montaña en sus formas simple y generalizada, y condiciones suficientes para la existencia de puntos críticos. En la prueba de estos teoremas es justamente donde utilizaremos la Teoría del Índice de los Puntos Fijos. Finalmente, el capítulo 5 es dedicado a estudiar algunos conceptos nuevos como puntos de soporte y funcionales de soporte.