Construcción de curvas elípticas de rango alto y grupo de torsión prescrito sobre los racionales

Abstract

El objetivo de este trabajo es el estudio de la estructura fina de grupo de los objetos conocidos como curvas elípticas. Una curva elíptica proviene de una ecuación cúbica en la forma de Weierstrass no singular. En este caso, el conjunto de puntos racionales, esto es los puntos (x,y) E Q x Q que satisfacen la ecuación y2 + aixy + a^y = x3 + a^x2 + a^x + a6 mas un punto que denotamos O, y que proviene de la forma proyectiva original de la curva, constituyen un grupo abeliano con una operación de intersección de curvas, vía el teorema de Bézout en el plano proyectivo. Demostramos que este conjunto es finitamente generado, resultado conocido como el teorema de Mordell-Weil. Más precisamente -E(Q) = -E(Q)tors © ^r donde -E(Q)tors es el subgrupo de torsión (los puntos de orden finito) y Zr es la parte libre. Para determinar el subgrupo de torsión se utiliza el teorema de Lutz-Nagell, que proporciona un algoritmo para descartar los puntos de orden finito; esto sumado a un teorema de Mazur, que clasifica los grupos que se pueden obtener implica que el cálculo del subgrupo de torsión de una curva dada es siempre factible. Por otro lado, el número r en el teorema de Mordell se llama el rango de la curva elíptica. El rango de una curva elíptica sobre Q elegida al azar casi siempre es pequeño, y no es sencillo generar curvas elípticas sobre Q de rango moderadamente alto. Sin embargo, se conjetura que existen curvas elípticas sobre los racionales de rango arbitrariamente grande. Para los cálculos, usamos la forma bilineal de Nerón - Tate, que permite determinar si una cantidad finita de puntos de la curva son Z-independientes, y la conjetura de Birch Swinnerton-Dyer, que nos dice que la función L de Hasse-Weil de una curva elíptica es holomorfa en s = 1 y el orden de anulación en s = 1 es igual al rango de la curva elíptica. Esto nos da una estimación del rango que siempre logramos verificar. En el presente trabajo, revisamos la teoría circundante y, con ayuda del sistema de cálculo PARI/GP, revisamos los record de curvas elípticas de rango alto logrados hasta hoy.

The objective of this work is the study of the fine group structure of the objects known as elliptic curves. An elliptic curve is given by a cubic equation in a non-singular Weierstrass form. In this case, the set of rational points, meaning the points (x,y) E Q x Q that satisfy the equation y2 + aixy + a^y = x3 + a^x2 + a^x + a6 plus a point that we denote by O, and that comes from the original projective form of the curve, constitute an abelian group with an operation defined from intersection of curves, via Bezout's theorem on the projective plañe. We prove that this set is finitely generated, result known as Mordell-WeiPs theorem. More precisely, -E(Q) ~ £-(Q)tors ©^r, where -E(Q)tors is the subgroup of torsión (the points of finite order) and Zr is the free part. To determine the torsión subgroup we use the Lutz-NagelPs theorem, which provides an algorithm to determine the points with finite order; this added to a Mazur's theorem, which classifies the groups that can be obtained, imply that the calculation of the torsión subgroup of a given curve is always feasible. On the other hand, the number r in MordelPs theorem is called the rank of the elliptic curve. The rank of a randomly chosen elliptic curve over Q is small, and it's not easy to genérate elliptic curves over Q with moderately high rank. However, it is conjectured that there exist elliptic curves over Q with arbitrarily high rank. For calculations we use Nerón- Tate's bilinear form, which allows to determine if a finite number of points on the curve are Z-independent, and the Birch Swinnerton-Dyer's conjecture, which tells us that the Hasse-Weil function L of an elliptic curve is holomorfic in s = 1 and the order of the zeros at s = 1 is equal to the rank of the elliptic curve. This gives us an estimate of the rank which we can always verify. In the present work, we review the surrounding theory and, with the help of the calculation system PARI/GP, we review the records of high rank elliptic curves achieved until today.