Dynamics in Celestial Mechanics. The Curved N-Body and Full Gravitational 2-Body Problems

Abstract

En esta tesis se usaron métodos analíticos y geométricos para estudiar sistemas Hamiltonianos. La motivación surge del campo de la mecánica celeste. La primera parte de nuestra investigación estudia algunas propiedades dinámicas del problema curvado de N-cuerpos en espacios de curvatura constante desde una perspectiva geométrica tanto intrínseca como extrínseca. Este trabajo incluye un análisis de estabilidad lineal y no lineal de soluciones de equilibrio, existencia de soluciones periódicas, análisis de bifurcaciones, continuación de soluciones periódicas y existencia de toros KAM. La segunda parte del trabajo se centra en el estudio del problema gravitacional completo de 2-cuerpos. Presentamos una descripción geométrica de las simetrías y la reducción de este problema después de promediar sobre ángulos rápidos. Evitamos las singularidades introduciendo variables adecuadas y realizando una transformación simpléctica, lo que conduce a una triple carta cuaterniónica global. La elección de esta clase de variables vale la pena, ya que nos permite escribir rápidamente el Hamiltoniano del sistema en términos de los invariantes y la estructura Poisson en cada etapa del proceso de reducción. Nuestro trabajo incluye un análisis paramétrico de equilibrios relativos y una descripción completa de las fibras en la reconstrucción del sistema reducido.

In this thesis, analytical and geometric methods were used to study Hamiltonian systems. The motivation arises from the field of celestial mechanics. The first part of our research studies some dynamic properties of the curved N-field problem in spaces of constant curvature from both an intrinsic and extrinsic geometric perspective. This work includes an analysis of linear and nonlinear stability of equilibrium solutions, existence of periodic solutions, analysis of bifurcations, continuation of periodic solutions, and existence of KAM tori. The second part of the work focuses on the study of the complete 2-body gravitational problem. We present a geometric description of symmetries and the reduction of this problem after averaging over fast angles. We avoid singularities by introducing suitable variables and performing a symplectic transformation, which leads to a global quaternionic triple letter. The choice of this class of variables is worthwhile, since it allows us to quickly write the Hamiltonian of the system in terms of the invariants and the Poisson structure at each stage of the reduction process. Our work includes a parametric analysis of relative equilibria and a complete description of the fibers in the reduced system reconstruction.