Algoritmo basado en el método QR para analizar la sensibilidad de autovalores y autovectores reales de matrices reales bien condicionadas

Abstract

En las investigaciones de las propiedades de los autovalores y autovectores se tiene el problema de analizar la sensibilidad de autovalores y autovectores de una matriz cuadrada real considerando una matriz perturbadora de norma pequeña. Una manera de analizar sus sensibilidades es mediante la determinación de cotas de las distancias de los autovalores y subespacios invariantes generados por autovectores de la matriz original y la matriz perturbada. Estas cotas nos dan información acerca de la sensibilidad de todos los autovalores y cuál de los autovectores son más sensibles. El problema radica en el método analítico (exacto) utilizado para obtención de las cotas, es un trabajo laborioso y restringido para matrices de ordenes menores o iguales a cuatro. El objetivo de esta investigación es desarrollar un algoritmo basado en el método QR para analizar la sensibilidad de los autovalores y autovectores reales de matrices reales bien condicionadas. Para cumplir este objetivo en primer lugar se analizó el problema identificando la entrada, la salida y los procesos matemáticos que permiten resolverlo. Se diseñó un algoritmo basado en el método QR siguiendo el método denominado divide y vencerás. Luego, se codificó y ejecutó el algoritmo propuesto usando el programa Scilab; finalmente, se verificó el algoritmo haciendo pruebas a matrices especificadas cuyos resultados obtenidos se mostraron en tablas, donde se compararon las cotas obtenidas mediante el algoritmo propuesto y los obtenidos por el método analítico, donde se observaron valores muy aproximados hasta más de 10 cifras decimales exactas.