Una demostración elemental del teorema de punto fijo de Brouwer en Rn

Abstract

Presenta una demostración sencilla y detallada en el espacio Rn del teorema de punto fijo de Brouwer, cuyo enunciado es n ∈ N y g una aplicación continua de [0, 1]n en [0, 1]n. Entonces existe z ∈ [0, 1]n tal que g(z) = z. Para lograr el objetivo del presente trabajo se utilizó el teorema de Bolzano-Weierstrass asociado a un teorema de etiquetado. El teorema del punto fijo de Brouwer es un resultado importante en la topología y la teoría de conjuntos que establece que, en un espacio topológico convexo y compacto, cualquier función continua que aplica el espacio en sí mismo tiene al menos un punto fijo, es decir, un punto en el espacio que se aplica en sí mismo bajo la función. Se demuestra dicho teorema utilizando la idea de etiquetado y cadenas, consideremos un espacio topológico X que representa el conjunto de todas las etiquetas posibles en el contexto. Suponer que se tiene una función continua f : X → X que asigna una etiqueta a otra etiqueta; así la tarea se reduce a demostrar que f tiene al menos un punto fijo.