Ecuación de reacción-difusión en derivadas parciales con retardo y aplicación de las series infinitas

Abstract

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) que involucran derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, se estudian generalmente en un curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Aprendimos como surgen tales ecuaciones diferenciales, los métodos mediante los cuales se pueden obtener sus soluciones exactas y aproximadas, viendo algunas aplicaciones en el campo científico. Sin lugar a dudas utilizar este tipo de ecuaciones diferenciales es útil aunque limita las clases de problemas que podamos investigar, ya que en la mayoría de los casos se necesitan varias variables independientes. Modelar un problema de la vida real desde el punto de vista matemático en el que se haga intervenir dos o más variables independientes, conduce a las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (¡La aparición de varias variables independientes hace que este tema resulte mucho más complejo que el de las EDO!). Los procesos de conductibilidad térmica y de difusión conducen a las ecuaciones de tipo parabólico. En el caso unidimensional la ecuación más simple de conductibilidad térmica tiene la forma ut = a^2uxx , u = u(x,t) Donde a^2= k/cp es la densidad del medio, c es el calor específico y k es el coeficiente de conductibilidad térmica. En las aplicaciones, el comportamiento futuro de muchos fenómenos se asume descrito por soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Bajo ciertas condiciones este comportamiento queda determinado únicamente por el presente y es independiente del pasado. Los retardos o retrasos en tiempo son componentes naturales de los sistemas biológicos y existen numerosas razones para incluirlos en los modelos matemáticos. Por ejemplo, los retrasos podrían ser incluidos para representar: • Lapsos de regeneración de recursos con periodos de maduración. Lapsos por alimentación, etcétera. Incluir el retardo en una EDO hace que el modelo representado por ella sea más realista y represente con más exactitud al problema real, en este caso la ecuación diferencial, se conoce con el nombre de ecuación diferencial con retardo (EDR) o ecuación diferencial funcional (EDF). Aquí, el pasado ejecuta influencias sobre el futuro muy significativas, y de hecho el comportamiento de las soluciones es mucho más complicado que en las EDO, tampoco hay fórmulas directas para representar las soluciones aún en la ecuación más simple. (Carrasco, 2008, p. 18) En este trabajo se presenta la solución, tanto análitica como numérica, del problema ut (t.x) = a^2uxx(t,x) + bu(t-r,x), t>r, 0 ≤ x ≤ 1, u (t.x) = r(t,x), 0 ≤ t ≤ r, 0 ≤ x ≤ 1, u (t,0) = u(t,l) = 0, t ≥ 0 , Donde a y b son constantes distintas de cero y r >0. La ecuación diferencial en este problema se llama Ecuación de Reacción-Difusión con Retardo (ERDR), donde r se llama prefunción. (Reyes, E. 2008, p. 46) Para encontrar la solución a este problema utilizaremos el método de separación de variables o método de Fourier, se obtendrán dos ecuaciones diferenciales, una EDO y una EDR, la primera será resuelta por los métodos tradicionales de EDO y para resolver la EDR se utilizarán algunos lemas y teoremas de la teoría de EDR para finalmente juntar estas dos soluciones y obtener la solución en forma de serie infinita para nuestro problema de ERDR, y finalmente analizar la continuidad, regularidad de la solución y acotaciones de los restos. El objetivo general de este trabajo es:Estudiar la ecuación de reacción-difusión en derivadas parciales con retardo, obtener sus soluciones exactas y analítico-numéricas, empleando las series infinitas. Los objetivos específicos son: Estudiar las herramientas que permitan dar solución a la ecuación de reacción-difusión en derivadas parciales con retardo. Estudiar las herramientas que permitan conocer la utilización de las series infinitas para la solución de la ecuación de reacción-difusión en derivadas parciales con retardo.