Dinámica del método de Newton en la construcción de un conjunto de inicialización para hallar las raíces de polinomios de variables complejas

Abstract

Al aplicar el método de Newton en el plano complejo, se observa que existen puntos muy próximos entre sí pero cuyas órbitas exhiben comportamientos muy diferentes al aplicarles repetidas veces el método en cuestión. Esto dificulta la elección de puntos del plano complejo que sirvan como conjunto de inicialización de tal método. Dado que el conjunto de inicialización, o denominado también conjunto semilla, influye significativamente en la eficiencia computacional del método, es crucial construir un conjunto de cardinal mínimo en el que se asegure la convergencia a cada una de las raíces. Esto puede lograrse mediante el estudio de la dinámica global de este método, pues de esta forma se puede determinar qué puntos del plano complejo tienen un comportamiento caótico al aplicarles el método de Newton, para así evitarlos. Por esa razón, se describe en primer lugar la geometría de las cuencas inmediatas de atracción de Newton, es decir, la región del plano complejo cuyos puntos convergen a una raíz del polinomio y que incluye a esta raíz. Una vez alcanzado este objetivo, se exponen tres enfoques en la construcción del conjunto de inicialización: El enfoque determinista, el probabilístico y el híbrido (que combina ambos); el primero de ellos se basa en el hecho de que en los exteriores de la circunferencia unitaria centrada en el origen, el mapeo de Newton es prácticamente lineal y además coloca por lo menos un punto en cada canal de la raíz (un canal es la cuenca de atracción inmediata de una raíz pero en el exterior de la circunferencia unitaria). En cambio, el probabilístico se basa en la distinción de raíces anchas y delgadas: coloca un punto por lo menos en cada canal de una raíz ancha, y por lo menos uno en la unión de canales de una raíz delgada. El tercero, coloca todos los puntos del conjunto semilla en una sola circunferencia haciendo pequeños desfases si todas las raíces no son halladas. A continuación se elabora un algoritmo llamado AlgNewton, implementado en un software científico, el cual toma un polinomio y da como resultado sus raíces junto con su multiplicidad.