Generación de curvas cicloidales haciendo uso del Wolfram Mathematica de curvas tridimensionales

Abstract

El objetivo de la investigación fue generar curvas cicloidales haciendo uso del Wolfram Mathematica de curvas tridimensionales, a fin de brindar el uso de métodos alternativos de construcción geométrica, como es la programación en Mathematica. Para ello se utilizó todo el conocimiento que se tiene sobre la generación de curvas cicloidales en ℝ! para, a partir de este, generar curvas cicloidales en ℝ". Una curva cicloidal en ℝ! es el lugar geométrico de un punto fijo 𝑃 a distancia 𝑅 del centro de una circunferencia de radio 𝑟, llamada generatriz, que gira sin deslizamiento a lo largo de una curva base, llamada directriz, que puede ser una circunferencia o una recta. Si la curva base es una recta la curva cicloidal recibe el nombre de Cicloide. Y dependiendo si el punto generador 𝑃 se encuentra en el interior (𝑅 < 𝑟), exterior (𝑅 > 𝑟) o en la circunferencia generatriz (𝑅 = 𝑟), la llamaremos cicloide acortada, alargada o normal, respectivamente. Si la curva base es una circunferencia y la circunferencia generatriz rueda por su exterior se denomina epicicloide, y si rueda por su interior se denomina hipocicloide. El propósito de esta investigación fue extender esta idea básica que da origen a las curvas cicloidales en ℝ!, reemplazando la recta directriz por otras curvas regulares planas o espaciales. Para ello, en primer lugar, se determinó la ecuación que genera la circunferencia generatriz, para luego, determinar la ecuación que genera las curvas cicloidales en los respectivos espacios (bidimensional y tridimensional), hallando para ello el punto generador de la curva. Para obtener este punto generador de las curvas cicloidales tanto en ℝ! como en ℝ" fue necesario aplicar el triedro de Frenet formado por los vectores unitarios tangente, normal y binormal a lo largo de la curva base o directriz. Luego, usando estas ecuaciones se elaboraron programas para crear nuevos comandos que no se encuentran en las librerías de Wolfram Mathematica que generaran curvas cicloides con independencia de la situación del punto generador (alargada, acortada y normal) y de la curva directriz. Además, se describió en detalle el uso correcto de la sintaxis y el funcionamiento de algunos atributos de los comandos creados para generar las curvas cicloidales en ℝ". Asimismo, los comandos creados permiten observar en la pantalla del ordenador, el giro de la generatriz sobre la directriz y la generación progresiva de la curva, esto gracias a una animación contenida en un comando de Mathematica, mostrándose esto con algunos ejemplos de curvas paramétricas directriz dadas en ℝ! y en ℝ". Como resultado relevante de la investigación el programa diseñado e implementado permite la generación automática de curvas cicloidales en ℝ! y ℝ", a partir de diferentes curvas directriz planas y espaciales, respectivamente, convirtiéndola en una herramienta didáctica en la enseñanza de la geometría de curvas en el plano y en el espacio, en particular en el trazado de curvas cicloidales. En conclusión, el desarrollo de la investigación mostró que haciendo uso del software Mathematica es factible la generación de curvas cicloidales a partir de curvas tridimensionales.