Estabilidad topológica de Gromov-Hausdorff para Homeomorfismos

Abstract

En el presente trabajo desarrollamos algunos aspectos teóricos respecto a la GH- estabilidad topológica para homeomorfismos, por ello el presente trabajo está basado en los aportes de A. Arbieto y C. Morales [1], y en los aportes dados por R. Cubas [3]. El concepto de GH-estabilidad topológica para homeomorfismos fue dado por Arbieto y Morales en [1], en 2017. Esencialmente, ellos combinan la noción de distancia de Gromov-Hausdorff con la distancia C0 usual, y obtienen una “distancia“ que permite relacionar dinámicas discretas que actúan en espacios métricos posiblemente diferentes. De este modo definen la distancia C0-Gromov-Husdorff dGH0. Y combinando la noción de estabilidad topológica de Walters (para homeomorfismos), con esta distancia dGH0, En [1], los autores introducen la noción de GH- s o o para homeomorfismos. Y, siguiendo la prueba dada por Walters del teorema 4 de [2], Arbieto y Morales prueban que todo homeomorfismo expansivo con la propiedad de sombreamiento satisface la GH-estabilidad topológica.

También consideramos los aportes dados por R. Cubas sobre la GH-estabilidad topológica, dados en 3. De este modo estudiamos la densidad de puntos periódicos asociados a homeomorfismos transitivos topológicamente GH-estables, y algunas con- secuencias de la GH-estabilidad topológica en espacios métricos disconexos. También estudiamos el hecho de que la GH-estabilidad topológica preserva entropía positiva en dinámicas sobre la circunferencia S1, y la relación entre la GH-estabilidad topológica y el Lema de aproximación de Anosov.

In the present work we study some theoretical aspects about the topological GH- stab l ty for homeomorphisms. For this reason, this work is based on the contributions of A. Arbieto and Morales [1], and the contributions given by Cubas [3]. The concept of topological GH-stab l ty for homeomorphisms was given by Arbieto and Morales in [1], in 2017. Essentially, they comb ne the not on of Gromov-Hausdorff metric with the usual C0-d stance. So, they obtain ad stance that allows relate discrete dynamics of possibly different metric spaces. In this way they define the C0-Gromov-Hausdorff d stance. On the other hand, n [1] the authors comb ne the not on of Walters s topological stab l ty (for homeomorphisms), with the C0-Gromov-Hausdorff d stance. So, they introduce the not on of topological GH-stab l ty for homeomorphisms. Afterwards, follow ng the proof given by Walters of theorem 4 in [2], Arbieto and Morales prove that every expansive homeomorphism with the pseudo-orb t trac ng property satisfies the topological GH-stab l ty.

We also consider the contributions given by Cubas on GH-topological stab l ty, given in [3]. In this way we study the dens ty of periodic points associated to topologically GH-stable transitive homeomorphisms, and some consequences of topological GH-stab l ty n disconnected metric spaces. We also study the fact that the topological GH-stab l ty preserves positive entropy n dynamics on the circle S1, and the relationship between the topological GH-stab l ty and the Anosov Closing Lemma.