Estudio de campos electromagnéticos estáticos con simetría axial en espacios curvos

Abstract

El presente trabajo de tesis pretende resolver el problema de tener una campo electromagnético con simetría axial y ver sus efectos en la curvatura del espacio tiempo, para lo cual hacemos uso de una métrica con simetría axial. Además de esto también se pretende encontrar algunas trayectorias de partículas de prueba de manera numérica y caracterizarlas. Para cumplir con estos objetivos se desarrolló la teoría electromagnética en espacio tiempo curvo de manera general. Los resultados obtenidos se usaron para simplificar el análisis y cálculo de las soluciones en el caso eléctrico y magnético. Mediante la dualización de Hodge que establece una relación en las soluciones de campo eléctrico y magnético. Una vez desarrolladas las herramientas nos enfocamos en la métrica de Weyl, en la cual se procedió a resolver las ecuaciones de campo de Einstein-Maxwell y relacionamos los términos de la métrica y el potencial para el caso del magnético y, usando la dualización de Hodge, para el caso eléctrico, en ambos nos encontramos básicamente con tres casos: hiperbólico, parabólico y elíptico. En cada uno de estos casos se establece la relación entre los parámetros de la métrica (f, γ ) y los correspondientes potenciales. Dichas relaciones se obtienen gracias a la función Ψ que se define, para simplificar los cálculos, como una función armónica que cumple con ∆Ψ = 0. De esta manera se llega a encontrar que una expresión cuadrática de los potenciales está relacionado de manera directamente proporcional con el parámetro f de la métrica en el caso eléctrico e inversamente proporcional en el caso magnético. Para el caso de γ solo es posible hallarlo analíticamente definiendo a Ψ como el potencial clásico de un dipolo eléctrico o magnético según sea el caso. Por último, hallamos algunas trayectorias para partículas de prueba en cada caso. Vemos que algunas trayectorias son órbitas mientras que en otras la partícula se acerca o aleja de la fuente. La explicación a estas trayectorias se encuentra en la forma del potencial efectivo en las vecindades de la posición inicial de la partícula de prueba. Mostramos tanto la gráfica en tres dimensiones de la partícula como el potencial efectivo para partícula masiva y la luz.