Medida de ciclos: aplicaciones en grafos y en teoría del campo libre gaussiano

Abstract

El objetivo de esta tesis es dar una introducción al concepto de medidas de ciclos y al concepto de Campo Libre Gaussiano Discreto (DGFF por sus siglas en inglés) mostrando los principales teoremas y algunas relaciones interesantes entre ambos conceptos. En la Introducción mencionamos brevemente la importancia del tema de medidas de ciclos en la actualidad. En la primera parte del capítulo 1 se define la medida de ciclos y se prueban los principales teoremas sobre este concepto. En la segunda parte de este capítulo se presenta una aplicación en teoría de grafos, dicha aplicación consiste en una demostración moderna al teorema de Kirchoff, el cual nos brinda una expresión para la cantidad de árboles de expansión que se pueden formar en un grafo finito y conexo. En los últimos dos capítulos se introduce el concepto de campo libre gaussiano discreto y se relaciona con la medida de ciclos. En el capítulo 2 definimos el campo libre gaussiano discreto, mostramos los principales teoremas y una primera relación con la medida de ciclos mediante la función de partición. Finalmente, en el capítulo 3 se presenta una relación más elaborada entre el campo libre gaussiano discreto y la medida de ciclos mediante la construcción de un vector aleatorio conocido como "campo de ocupación continuo" el cual resulta tener una distribución igual al cuadrado del campo libre gaussiano discreto.

The objective of this thesis is to give an introduction to the concept of measures of cycles and to the concept of Discrete Gaussian Free Field (DGFF) showing the main theorems and sorne interesting relationships between both concepts. In the Introduction we briefly mentioned the importance of the topic of measures of cycles at present. In the first part of chapter 1 the measurement of cycles is defined and the main theorems on this concept are shown. In the second part of this chap­ ter an application in graph theory is presented, this application consists of a modern proof of Kirchoff's theorem, which gives us an expression for the amount of expansion trees that can be formed in a finite graph and related. In the last two chapters the concept of discrete Gaussian free field is in­ troduced and is related to the measurement of cycles. In the chapter 2 we define the discrete Gaussian free field, we show the main theorems and a first relation with the measurement of cycles by means of the partition function. Finally, in chapter 3, a more elaborate relation between the discrete Gaus­ sian free field and the measure of cycles is present.ed by the construction of a random vector known as "continuous occupation field" which results in a distribútion equal to the square of the discrete gaussian free field.