Construcción de una pro-categoría Abeliana

Abstract

En matemática es común organizar los contenidos en estructuras como espacios vectoriales, grupos, anillos, módulos, espacios de medida, variedades diferenciables y muchas otras. El interés principal de esta riqueza topográfica del pensamiento matemático es comprender de manera detallada el comportamiento, las propiedades y los resultados más generales sobre las clases de objetos (entendidos como redes y procesos) pertinentes a una misma estructura. Por ejemplo, si analizamos el objeto matemático grupo, este aparece y captura información dispar (bajo los más diversos teoremas de representación) en los ámbitos más distantes de la matemática: grupos de homología y cohomología, grupos de Galois, acciones de grupos, grupos abelianos, grupos de homotopía, grupos algebraicos, grupo de Grothendieck-Teichmuller, grupos de Lie, grupos cuánticos, grupos de Zilber, gru¬pos hiperbólicos, etc. Aquí no nos enfrentemos, ontológicamente, con una estructura universal de grupo que se someta a propiedades suplementarias en cada supuesto nivel de lectura (lógico, algebraico, topológico, diferencial, etc.), sino, sucede que las diversas redes de información matemática codificadas bajo la estructura de grupo se traslapan (pre - síntesis) y se componen (síntesis) para transmitir coherentemente la información. No existe un objeto matemático sólido que pueda cobrar vida independientemente de los demás, en un supuesto universo primordial, sino existen (pluralmente) redes que evolucionan incesantemente a medida que se conectan con nuevos universos de interpretación matemática. En este sentido la teoría de categoría desarrollada por Samuel Eilenberg y Saunders MacLane en 1945, busca axiomatizar diversas estructuras matemáticas como una sola con ayuda de un lenguaje común y su objetivo es estudiar las propiedades de un objeto insertándolo en una clase (categoría) de objetos similares con la finalidad de construir transmisores de información para las propiedades del objeto, luego compararlos con comportamientos similares en otras categorías, y reutilizar toda la información pen¬dular acumulada y poder capturar con nuevos ojos el objeto inicial. En esa dirección en los años 60 en el Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois- Marie desarrollado en París. Alexander Grothendieck y otros matemáticos desarrollan la categoría de pro - objetos de una categoría. En “Theorie des topos et cohomologie etale des schemas (SGA 4)” se reúnen parte de las notas de estos seminarios. En esta tesis, se construye una pro - categoría abeliana denotada por pro(C) adjunta a una categoría abeliana C, cuyos objetos son sistemas inversos indexados por con¬juntos directos y sus morfismos son clases de equivalencia sobre Hom C. Así mismo, se definen algunos morfismos notables, como por ejemplo los monomorfismos y los epimorfismos. Finalmente se hacen algunas construcciones categóricas, como, por ejemplo, el producto, con la finalidad de demostrar el siguiente resultado: Si C es una categoría abeliana, entonces pro(C) es una categoría abeliana. Una de las tantas aplicaciones que se pueden dar a las pro -categorías, está relacionada con el Teorema de Escisión de Cuntz y Quillen, por la enorme simplificación de su demostración; algunos otros usos van, desde la geometría algebraica (ver [3], [4], [16]); la teoría de formas (ver [10], [13], [30]); la topología geométrica [8] hasta las matemáticas aplicadas (ver [10]).