Convergencia de árboles aleatorios en la métrica de Gromov-Hausdorff

Abstract

El presente trabajo estudiamos ciertos árboles aleatorios finitos. Además, probamos su convergencia, bajo un escalamiento y condicionamiento adecuados, a un objeto aleatorio continúo llamado Árbol Aleatorio Continuo (AAC). Más precisamente, en la primera parte del trabajo introducimos la noción de árbol enraizado ordenado finito, el tipo de árbol que da lugar a los árboles aleatorios de nuestro estudio. Asociamos a estos árboles dos funciones, la función de altura y la función de contorno. Los principales resultados de esta primera parte son teoremas de convergencia de estas funciones a objetos conocidos en probabilidad asociados al browniano. Finalmente, en la segunda parte de este trabajo, usamos la excursión browniana como una versión continua de la función de contorno, estudiada previamente, para definir el AAC. Concluimos mostrando que el AAC puede ser obtenido como el límite de árboles aleatorios finitos.

In this work we study some finite random trees. Also, we prove their convergence, under certain conditions, to a random object called Continuous Random Tree (AAC). More specifically, in the first part we introduce the notion of finite ordered rooted tree, the kind of tree that produces the random trees we study. We associate two functions to these trees, the height function and the contour function. The main results of this part are some convergence theorems of these functions to well known probabilistic objects, related to the Brownian motion. Finally, in the second part of this work, we use the Brownian excursion to define the AAC. We conclude showing that the AAC can be obtained as the limit of finite random trees.