La integral de lto y ecuaciones diferenciales estocásticas

Abstract

El Objetivo de esta Tesis es presentar los resultados fundamentales de la teoría de Ecuaciones Diferenciales Estocásticas en tal forma que pueda ser entendible a los lectores que tienen algunas nociones generales de teoría de medida y análisis real; todos estos temas se exponen con claridad y precisión. El problema básico es dar significado a la integral ᶴvdw donde v y w son procesos estocásticos. En general w no es de variación acotada y en consecuencia esta integral no coincide con la integral de Riemann-Stieltjes, debiendo por tanto entenderla en el sentido de ITO. Con esta nueva integral se puede resolver la ecuación diferencial dη(t) = d(t,η(t))dt + σ(t,η(t))dw(t) cuya solución trae muchas bondades, puesto que se trata de un proceso de Markov que es una difusión, la cual sirve dµ = d(t,x)dµ + ½b(t,x)d2µ dt dx dx2

de una muy buena interpretación para la solución de la Ecuación Diferencial de tipo parabólico y de su ecuación adjunta.

The objetive of this work is to present the funda mental results of the theory of Stochastic Differential-. Equations in a manner that should be comprensible to rea ders having the general notions of measure theory and - Real Analysis. All the features are explained with clari ty and precision. The basic problem is to give a meaning to z = dw, where u- and w are stochastic processes. In general, w ¡Ls a process whose paths are not of bounded variation, then z no should coincide with the lebesque-Stieltjes in tegral.

dη(t) = d(t,η(t))dt + σ(t,η(t))dw(t)

With the integral defined, their important proper ties are discussed so, differential equations can be solved, whose solution is a Markov process, moreo ver it is a Difussion,which give a very good probabilis- tic interpretation to the solution of the parabolic diffe rential equation and its Adjoint Equation.

dµ = d(t,x)dµ + ½b(t,x)d2µ dt dx dx2