Análisis de componentes principales vs. método del gradiente proyectado

Abstract

El objetivo de este trabajo es desarrollar el fundamento matemático que da lugar al Análisis de Componentes Principales (ACP) técnica del análisis exploratorio de datos que utilizaremos para estudiar El Niño - Oscilación del Sur, fenómeno climático de suma importancia por ser de escala global. Para conseguir nuestro objetivo, se sienta las bases matemáticas del algebra lineal y análisis real, necesarios para desarrollar las herramientas de la optimización maten ática que son empleadas en este trabajo: condiciones necesarias de optimalidad de primer y segundo orden para problemas sin restricciones y condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker para problemas con restricciones. Estas herramientas de la optimización permiten comprender la concepción clásica de la técnica estadística del ACP como un método para consolidar n variables mutuamente correlacionadas de datos multidimensionales en nuevas variables mediante combinaciones lineales de las variables originales con mínima perdida de la información en los datos observados. Y permiten también aseverar que el abordar el problema netamente geométrico de encontrar una recta o un plano que mejor se aproxime a un conjunto finito, no vacío, de vectores del espacio euclídeo de dimensión n, es la esencia maten ática que desencadena de manera natural, en esta técnica estadística. Finalmente, una vez más, estas herramientas de la optimización, nos permite desarrollar un esquema basado en las ideas del método del gradiente proyectado y el método de las potencias que puede ser implementado en un programa de computadora; y así, se aplicó el ACP para el estudio de base de datos de las temperaturas superficiales y de las profundidades de la isoterma de 20◦C del océano pacífico ecuatorial.