Análisis no estándar y algunas de sus aplicaciones

Abstract

En el capítulo 1 establecemos los conceptos preliminares sobre el análisis no estándar, como la construcción ultra producto, la que nos permitirá construir el conjunto de los números reales no estándar (∗R) definiendo en el lo que es un infinitesimal, así como los conjuntos internos y externos como subconjuntos de ∗R. Definimos una superestructura de un modelo estándar X y mencionamos el principio de definición interna así como el muy importante principio de transferencia. En el capítulo 2 establecemos la formulación no estándar de conceptos y resultados básicos en espacios topológicos, espacios métricos y espacios euclidianos, tales como conjuntos abiertos y cerrados, conjuntos compactos, el Teorema de Bolzano Weierstrass, topología producto, el teorema de Tychonov, continuidad y el Teorema de Ascoli no estándar. En el capítulo 3 desarrollamos una teoría de integración no estándar, con la estandarización (L, I) de una estructura de integración interna (L, I). Asimismo desarrollamos una teoría de la medida para tales estructuras de integración. Definimos un espacio de medida (X, MX, µX ), donde X ⊂ Rn es abierto o cerrado. Establecemos una teoría de integración sobre Rn, estudiamos el teorema de Representación de Riesz, así como teoremas básicos de convergencia para sucesiones de funciones integrables que no son necesariamente monótonas. En el capítulo 4 presentamos algunas aplicaciones de las estructuras de integración no estándar y su teoría de la medida en teoría de la probabilidad, en particular a los procesos estocásticos. Asimismo mostramos algunas aplicaciones del Análisis No estándar concentrándonos en los tópicos de integración Estocástica. Finalmente damos las conclusiones del presente trabajo.