Método de los elementos naturales para la solución de la ecuación de la elasticidad lineal y aplicaciones en mecánica computacional

Abstract

La presente tesis plantea la solución del problema del cálculo de esfuerzos y deformaciones en un medio continuo, expresado en la ecuación de la elastostática (Ecuación de Poisson). Se utiliza una formulación basada en desplazamientos. Inicialmente se revisarán conceptos de análisis funcional, involucrados en la solución de ecuaciones en derivadas parciales, con los cuales se obtendrá la formulación débil de la ecuación de Poisson. Una vez planteado el problema en su forma débil, se procede a encontrar la solución numérica del problema mediante la aproximación de la misma como combinación lineal de funciones de interpolación, las cuales son construidas de ideas geométricas simples como los diagramas de Voronoi y triangulación de Delaunay. Finalmente, se presentará formalmente el Método de Elementos Naturales y se aplicará dicho método a la solución de ejemplos prácticos de interés de la ingeniería civil mediante la redacción de pequeños programas en Java, C y Fortran. Se comparan los resultados con el método de Elementos Finitos y otros métodos sin malla.

This thesis raises the solution of the problem of calculation of stresses and strains in a continuum medium, expressed in the Electrostatics equation (Poisson equation), using a formulation based on displacement. Initially, concepts of functional analysis will be reviewed, which are involved in the solution of partial differential equations. These concepts will allow to obtain the weak formulation of the Poisson equation. Alter the problem is formulated in its weak form, we proceed with the numerical solution of the problem by approximating the solution as a linear combination of interpolation functions, which are constructed from simple geometric ideas such as Voronoi diagrams and Delaunay triangulation. Finally, the Natural Element Method is formally presented and it is applied to the solution of practical examples of interest in civil engineering by writing small programs in Java, Fortran and C. The results will be compared with the Finite Element Method and other meshless methods.