Optimización de una cédula de cultivo mediante el algoritmo de Karmarkar en el subsector de riego Bajo Caplina (Tacna)

Abstract

La programación lineal empieza a desarrollarse realmente a partir de 1940 con la formulación de problemas lineales generales, y la creación del método del simplex por G.B.Dantzing en 1947. En el método simplex, en cada iteración se comprueba un vértice de la región factible, definida por las restricciones lineales. Si dicho vértice no es óptimo, el algoritmo obtiene otro, y así sucesivamente y así sucesivamente hasta llegar al optimo, ya que el número de vértices es de tipo combinatorio, podría llegar a ser impracticable si se tuviera que comprobar una proporción grande de vértices. La búsqueda de la región factible: m ecuaciones lineales simultaneas en n incógnitas o variables (m<n). Tipo combinatorio

n!

m! (n - m)!

El método Simplex tiene una limitación al ser de naturaleza exponencial; significa que conforme instancias de él son más grandes, el algoritmo más eficiente disponible para encontrar la solución óptima es tal, que su comportamiento es una función exponencial con el número de iteraciones. Entonces a partir de esto se intentó encontrar un alternativo algoritmo para resolver los problemas de programación lineal con complejidad polinomial, se realizaron muchas investigaciones, pero fallaron en su intento, siendo menos efectivo que el método Simplex, entonces se. paralizaron las investigaciones en programación lineal, hasta que en 1984 Narendra Karmarkar, un matemático hindú de 28 años, egresado del Instituto de Tecnología en Bombay, del Instituto de Tecnología de California y de la Universidad de California en Berkeley, investigador de los laboratorios AT&T Bell, publicó el artículo A New Polynomial­ Time Algorithm for Unear Programing que marcó un hito en la Programación Lineal. Karmarkar desarrollo un algoritmo de tiempo polinomial que corta a través del interior del espacio solución. La idea principal es empezar desde un punto interior representado por el centro de la simplex y después avanzar en dirección del gradiente proyectado para determinar un nuevo punto solución. El nuevo punto debe ser estrictamente un punto interior, significando que todas sus coordenadas deben ser positivas, no debe estar en los límites del simplex. Para garantizar este resultado, una esfera con su centro coincidiendo con el del simplex se inscribe en forma ajustada en el interior del simplex. La validez del algoritmo se basa en esta condición. El nuevo punto solución será la intersección de la esfera con el sistema homogéneo AX=O. El nuevo punto de la solución ya no estará en el centro del simplex. Para que el procedimiento sea iterativo, necesitamos encontrar una forma de llevar el nuevo punto de la solución hacia el centro de una simplex. Karmarkar satisface este requerimiento proponiendo una transformación proyectiva. A partir del trabajo de Karmarkar se. reactivó la investigación en Programación Lineal. El interés es el de encontrar una aplicación de esta investigación a la carrera de Ingeniería Civil y aportar al desarrollo del país en el campo de la agricultura, que es una actividad básica de la economía y generadora de empleo a menor costo.

La costa de Tacna es una zona árida, desértica por lo cual sería fundamental optimizar el uso del agua para maximizar sus beneficios y minimizar sus pérdidas. El sub-sector de riego Bajo Caplina con una superficie agrícola de 1291,8 ha se ubica en el departamento de Tacna y constituye el entorno rural abastecedor de alimentos a la ciudad de Tacna, con una producción agrícola representada por cultivos permanentes, transitorios y forrajeros. Las áreas agrícolas del sub-sector pertenecen a los distritos de Tacna, Pocollay, Galana y Pachía, y son irrigadas con las aguas del río Caplina, cuya disponibilidad se incrementará con · la derivación Uchusuma en 0,343 m3/, mediante la ejecución del Proyecto Vilavilani II etapa. Los recursos como agua, suelos de buena calidad y capital en el sub-sector son escasos constituyendo limitantes para el productor agrícola y que se reflejan en la obtención de productos con bajos rendimientos y costos elevados en la producción. Para hacer un uso eficiente de estos recursos de tal manera de maximizar los beneficios netos de la producción se plantea en el presente estudio de investigación la optimización de la cédula de cultivo para las condiciones existentes. en el sub-sector realizando la mejor asignación de recursos limitados a un número de actividades en competencia en una cedula de cultivo. Para obtener la cédula óptima que maximice las utilidades netas se ha planteado ocho modelos de programación lineal considerando cédulas con y sin rotación de cultivos, teniendo como función objetivo la maximización de los beneficios netos de la producción, sujeto a restricciones de los recursos agua, suelo, mano de obra y mercado. Para resolver las ecuaciones lineales de los modelos planteados se ha utilizado como instrumento matemático de solución la técnica de Programación Lineal, utilizando el algoritmo de programación lineal de Karmarkar programado en MATLAB. Los resultados obtenidos por el algoritmo Karmarkar son iguales a los obtenidos mediante el método simplex, la diferencia está en la facilidad en el ingreso de datos que tiene el algoritmo de Karmarkar, su fácil programación, su rápida convergencia con problemas con mayor número de variables. El algoritmo de Karmarkar es un interesante método alternativo para programación lineal y efectivo para programación lineal con gran cantidad de variables. Como resultado se ha obtenido la cédula de cultivo óptima para las condiciones de: Eficiencia de riego = 46%, con aporte de la derivación Uchusuma y con rotación de cultivos. Con esta cédula se obtiene un beneficio neto de US$ 955 540, 937.2 ha. con cultivos permanentes, transitorios y forrajeros. El volumen de producción es de 25 343 TM con una utilidad neta de US$ 955 540, que representan un incremento de 37% y 63% con respecto al volumen y utilidad actual respectivamente.