Función signo matricial en las EAR's, EAR's en espacios de Hilbert así como su estudio en la ecuación del calor

Abstract

Las propiedades de la función signo matricial, relativamente un nuevo objeto de la teoría de matrices, se describen. En la moderna algebra computacional, subyace una tecnología eficiente que permite resolver los problemas actuales de la teoría de control. Las potencialidades de esta tecnología se demuestra con el ejemplo de los problemas espectrales y ecuaciones matriciales algebraicas de Lyapunov, Sylvester y Riccati. Criterios prácticos de estabilidad para sistemas dinámicos lineales se proponen en las bases del proceso iterativo para el cálculo de la función signo matricial. En este trabajo estudiaremos la función signo para una matriz cnxn, veremos que propiedades tiene esta nueva función tomando como base el Álgebra Lineal. Uno de los objetivos a tratar es de hallar la función signo para una matriz de cualquier orden, pero para matrices de mayor orden daremos métodos iterativos para su cálculo, estudiando el método de Newton y el de Schur. Para el éxito de estas iteraciones estudiaremos una manera de decidir cuando terminarlas. La función signo matricial para el conjunto de matrices rectangulares se definen basándose en el álgebra de relaciones lineales. Introduciremos conceptos nuevos que pueden ser tratados en un curso de Sistemas Lineales de Dimensión Infinita, como por ejemplo: bases de Riesz, operador Riesz espectral y C0-semigrupo; así como resultados de bases de Riesz que serán utilizados a lo largo del desarrollo del tema. El objetivo principal se centra en el estudio de la ecuación algebraica de Riccati en dos tipos de espacios, cnxn y espacios de Hilbert; estudiando el tipo de soluciones y cardinalidad en este último espacio. Para el conjunto de matrices reales cuadradas se dará un-inétodo iterativo para la resolución de la ecuación algebraica de Riccati. Por último, todo lo estudiado se aplicará ha encontrar las soluciones de la ecuación del calor, dando una expresión explícita para todas ellas.