Juegos cooperativos y algunas de sus aplicaciones

Abstract

La Teoría de Juegos es una rama de las matemáticas relativamente moderna que estudia problemas de decisión eu los que interaccionan varios decisores, el punto de partida fue la publicación del tratado Theory of Games and Economic Behavior(1944) por el matemático Von Newman jtmto con el economista Morgenster. La Teoría de Juegos distingue dos modelos de juegos distintos en su planteamiento. Los juegos no cooperativos o competitivos, en donde cada jugador busca su máximo beneficio y los juegos cooperativos, en donde los jugadores disponen de mecanismos que les permiten tomar acuerdos vinculantes previos al juego. Esto es, los jugadores pueden cooperar formando coalicioues de jugadores con el fin de obtener mayores beneficios. En un juego cooperativo no es necesario analizar las estrategias de los jugadores, puesto que estos actuarán de la forma que consigan mayor beneficio. El problema central en nn juego cooperativo es el reparto de beneficios entre los jugadores que forman la coalición. Dado que los jugadores han cooperado entre sí para obtener el máximo beneficio, el reparto de ese beneficio ha de darse entre todos los jugadores que formaron la coalición. El objetivo principal de la Teoría de Juegos Cooperativos es analizar la importancia o influencia que ha tenido cada jugador en la obtención de ese beneficio, para proponer un reparto de beneficios adecuado. Una coalición puede estar formada por cualquier grupo de jugadores de cualquier tamaño. El pago de esta coalición, esto es, los beneficios que la coalición obtendrá del juego, será función de la coalición, y deberá ser repartido al finali7:ar el juego entre los jugadores que forman la coalición. Este pago será representado por tm número. Cuando cualquier reparto del pago entre los jugadores es posible, hablamos de un juego de Utilidad Transferible o abreviadamente juego UT. Un juego cooperativo de utilidad transferible en forma coalicional o en forma de función característica está formado por un conjunto finito de jugadores J y una función característica que asocia a cada subconjunto o coalición un número real que será el valor de la coalición, siendo el valor del subconjunto vacío igual a cero. Un juego cooperativo de utilidad transferible se caracteriza porque cualquier reparto del beneficio total de la coalición entre los jugadores que la forman está permitido. Por tanto, al analizar un juego cooperativo un objetivo es conocer las estrategias que deben tomar los diferentes jugadores, y conocer el beneficio que obtendría cada jugador si decidiese formar una coalición con otros jugadores. A la hora de buscar resultados posibles, debe hacerse un reparto del pago total v( J) entre los jugadores. El pago a cada jugador puede representarse mediante una función que a cada jugador del conjunto J le asigne un número real que represente el pago que obtendrá ese jugador en el juego, esto es el llamado vector de pagos. Los vectores de pagos que cumplan con el principio de eficiencia son llamados vectores de pagos de beneficios o preimputaciones, si además de este principio, imponemos que los vectores pagos cumplan con el principio de individualidad racional, obtenemos el conjunto de imputaciones de un juego. Existen dos tipos de conceptos de solución en juegos cooperativos: los conceptos de solución de tipo conjunto, el Core, que limita un conjunto de posibles valores exigiéndole algunas propiedades, y los conceptos de solució~ tipo puntual, que eligen entre todos los posibles vectores de pago uno solo, donde el más utilizado es el Valor de Shapley.