El movimiento lunar

Abstract

El objetivo del presente trabajo es estudiar en detalle el movimiento de la Luna. Para analizar el movimiento lunar debemos considerar un caso particular del problema de tres cuerpos. Usaremos las dinámicas de Newton y de Lagrange para estudiar un caso general y luego lo aplicaremos al sistema Sol-Tierra­ Luna, STL. Las ecuaciones diferenciales ordinarias del movimiento serán resueltas numéricamente obteniendo resultados que coinciden con las observaciones. El presente trabajo se divide en la siguiente forma:

En el capítulo I asumimos al sistema STL como un sistema aislado de masas puntuales, influenciadas solo por la interacción gravitacional mutua. Asumimos también al Sol en el centro de un sistema de referencia inercial, y en la Tierra el origen de otro sistema de referencia, cuyos ejes siempre se mueven paralelos a los ejes anteriores. Se aplica la Segunda Ley de Newton para obtener las ecuaciones diferenciales que han de ser transformadas en ecuaciones diferenciales apropiadas, para ser resueltas por el método numérico de Runge­ Kutta de paso variable.

En el capítulo II obtenemos el Lagrangiano del sistema STL haciendo la expansión multipolar del potencial Kepleriano Tierra-Luna para poder utilizar su distancia relativa. Luego obtendremos el Lagrangiano para casos especiales.

En el capítulo III usamos las ecuaciones de Lagrange para obtener las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema STL, en función de las coordenadas esféricas del centro de masas del sistema Tierra-Luna y del vector relativo de la Luna respecto de la Tierra, usando el Lagrangiano del capítulo II. Estas ecuaciones son también resueltas numéricamente.

En el capítulo IV la Tierra es considerada un elipsoide de revolución, con lo cual el potencial gravitacional de la Luna se modifica con el potencial de Mac­ Cullagh. La constancia de la función Em, expresada tanto en su valor referencial como en su dispersión, relacionada a la energía mecánica del sistema conservativo refleja la consistencia de los algoritmos numéricos empleados.

En el capítulo V se analiza la estabilidad del movimiento lunar usando la teoría de sistemas dinámicos y los exponentes de Lyapunov. Estos exponentes nos indican cómo varía una órbita en el espacio de fases, al variar las condiciones iniciales. Los exponentes son calculados usando MATOS (programa en MATLAB para investigación de Sistemas Dinámicos) dando resultados que indican que el sistema podría ser caótico, donde el movimiento lunar es inestable para ciertas condiciones iniciales.

We analyze the complicated lunar motion using the dynamics of Newton and of Lagrange, assuming a particular case of the problem of three bodies for the Sun-Earth-Moon system, SEM system. We obtained, in both cases, the differential equations of motion that were solved numerically using Runge­Kutta's variable-step method. For Lagrange case we obtained, using a multipolar expansion, the Lagrangean function. We consider the Earth as an ellipsoidal of revolution and represent the gravitational interaction with the Moon by means of Mac-Cullagh's potential. Finally, using the theory of dynamical systems, we estimate the Lyapunov exponents of the SEM system in order to analyze the stability of its solutions. In particular, we study the precession period of the Line of Nades, obtaining in all the cases a value that differs at most 3,7 % from the observed value, which is 18,6 years.