Distribución de los enteros coprimos a un entero dado

Abstract

El presente trabajo se divide en dos partes, siendo la primera una introducción al estudio de algunas técnicas de análisis probabilístico aplicado a la teoría de números, y la segunda una exposición de la aplicación de algunos de estos al problema de la mayoración de los momentos centrales de grado k de los enteros coprimos a un entero dado n en intervalos de longitud h. Respecto de la primera parte, presentamos en esta una exposición de algunos conceptos y técnicas del análisis combinatorio y también de la teoría de probabilidades. Así mismo, presentamos una introducción a la aplicación de estos conceptos a la teoría de números y algunos resultados al respecto. A modo de ejemplo, exponemos la prueba del Teorema de Hardy - Ramanujan, del que se puede inferir que la función w(n), que cuenta la cantidad de divisores primos de un entero n, tiene orden normal log log n, como también la prueba de la existencia de una base asintótica de orden 2 en N tal que su número de elementos menores o iguales a n es o(n£) cuando n  + ∞, para cualquier e > 0. En la segunda parte del trabajo, detallamos el problema de la acotación uniforme en k de los momentos de los coprimos con q en intervalos enteros de longitud h. Para tal fin, aproximamos este problema al de una ley binomial de parámetros h, P usando las técnicas de la primera parte del trabajo. Para este tipo de ley binomial, establecemos la estimativa A seguir, usamos técnicas de análisis combinatorio para mostrar, en la parte final del trabajo que donde C es una constante absoluta y q se asume sin factores cuadrados.

The present work is divided into two parts, the first being an introduction to some methods of probabilistic analysis applied to number theory, and the second a exposition of an application from these to the problem of bounding the central moments of k grade of the coprimes integers to a given integer n in h-length intervals. About the first part, we show some concepts and methods from combinatory analysis as well as probabilistic theory. Also, we show an introduction to appliances of these to number theory and some results about them. For instance, we expose the Hardy-Ramanujan theorem’s proof, which implies that the w(n) function, that counts the amount of prime divisors for an integer n, has the normal order log log n, as well as the proof of the existence of a asintotic base of order 2 in N such that the amount of its elements being nor mayor than n is o(n£) when n  + ∞ for all e > 0. In the second part we detail the problem of the uniform bounding in k for de moments of the coprimes with q in integer intervals of h length. To this purpose, we aproximate the problem to a binomial law with parameters (h, k) by using the first part of the text. For this type of probabilistic law we get the equation Then, we use combinatorial methods to show, at the last part of the work. That where C is an absolute constant and q is asumed to be without any square factor.