El teorema Tauberiano de Landau y aplicación

Abstract

La noción de teorema lauberiano no es del lodo precisa, es descrita de forma filosófica más que por definición. La clasificación en teoremas abelianos (directos) y lauberianos (recíprocos) se da de la siguiente forma: leñemos un mapeo T : X —> Y (usualmente lineal con algunas propiedades de continuidad) entre espacios de funciones. Un teorema abeliano es un teorema que deduce una propiedad (usualmente asintótica) de T(f) a partir de una propiedad (usualmente asintótica) de /. Un teorema lauberiano es un teorema recíproco, es decir a partir de una propiedad de / de¬ducimos una propiedad de T(f). Uno podría objetar lo siguiente: Si T es inyectivo, entonces no hay una diferencia real entre estas clasificaciones, pero en la práctica esta clasificación surge en situaciones en las cuales la inversa de T carece de las propiedades necesarias para la conclusión deseada. Estas hipótesis extras y delicados argumentos son necesarios frecuentemente para los teoremas lauberianos. Es preciso señalar que los teoremas abelianos son rara vez identificados como tales, a menos que exista un correspondiente teorema lauberiano, mientras que los teoremas lauberianos son identificados como tales sin que exista su correspondiente teorema abeliano. Nuestra historia comienza con Abel y el prototipo de lodos los teoremas abelianos. Desde que las series e integrales divergentes aparecen frecuentemente en la práctica, es interesante intentar asignar algún significado a algunos de ellos. Existen muchas ideas interesantes, por ejemplo valores principales, parles finitas, o técnicas de sumación de Gauss, Weierslrass, Cesara, Abel, Poisson, etc. Una idea, debida a Abel, es la siguiente: supongamos (a„) una sucesión acolada. Entonces ∑ an puede diverger, pero la serie de potencias ∑ anZn tiene radio de convergencia al menos 1. El límite límr-1 ∑ an r10 puede o no existir y tener relación o no con ∑ an sin embargo cuando este límite existe es llamada la suma de Abel de ∑ an Como ejemplo, la suma de Abel de la serie divergente ∑ ( — 1)n es ½.