Núcleo promedio de funciones convexas y algoritmos en computación convexa

Abstract

En el artículo titulado The kernel Average for Two convex functions and its application to the extension and Representation of Monotone Operators dado por H.Bauschke y X.Wang se presenta una nueva transformación de funciones convexas llamada el Núcleo promedio de funciones convexas, el cual es una generalización del promedio proximal o de la Envoltura de Attouch-Wets, aplicaciones muy importantes en todo el análisis convexo. En una primera parte de este trabajo, vía la variación de la función g en la definición anterior mostraremos algunos ejemplos de la teoría como es el promedio aritmético, el promedio epigráfico, el promedio proximal, la envoltura de Attouch-Wets de funciones convexas y también mediante un gráfico mostraremos un aplicación del promedio proximal: la transformación continua de una función convexa en otra. También enunciaremos y demostraremos las propiedades fundamentales de este operador como es la Conjugada de Fenchel, propiedades de su Dominio y la del Subdiferencial. Cuando aplicamos la función Fitzpatrick, la conjugada de la función Fitzpatrick asociada con un operador monótono y un núcleo apropiado, el Núcleo Promedio produce un autoconjugado, el cual es usado para encontrar una extensión monótono maximal de un operador monótono. Este resultado es dado por el teorema de Extensión y Representación, que además, resuelve uno de los problemas abiertos dado en el artículo de Simon Fitzpatrick.