Modelamiento y control de sistemas físicos usando el enfoque port-Hamiltoniano

Abstract

La teoría de control clásico se basa en el paradigma de causalidad, de donde se desprende la idea de ver a un sistema en términos de entradas y salidas, y ver las interconexiones entre sistemas como relaciones unilaterales del tipo salida/entrada. Sin embargo, este enfoque no es adecuado para trabajar con los sistemas físicos, ya que un fenómeno físico es esencialmente no causal. La necesidad de un nuevo enfoque que respete la naturaleza física de un sistema, se acentúa con la aparición de los sistemas mecatrónicos, en los que hay una mezcla de componentes de diversos dominios físicos, y donde se necesita una teoría de modelamiento matemático que captura la naturaleza física del sistema de la manera más exacta posible, para fines de simulación y control. Para esto se requiere un cambio de paradigma. El objeto fundamental que caracteriza a un sistema físico es la energía. Cuando dos sistemas físicos interactúan, existe un flujo de energía de un sistema a otro, lo que determina la dinámica de cada sistema. Para el control de tal interacción en una manera apropiada, es necesario controlar este intercambio de energía. De otro lado, es más adecuado representar las interacciones entre sistemas desde un punto de vista desde una relación bilateral en vez de una relación unilateral. Es en este contexto donde se establece el paradigma de puerto, como la interfase mediante el cual un sistema interactúa con su entorno. El formalismo port-Hamiltoniano que se presenta en esta Tesis, provee un marco para el modelamiento de sistemas físicos, teniendo como base los conceptos de energía y puerto de un sistema. Al estar basado en la energía, permite representar un sistema físico independiente del dominio al que pertenece y proporciona la generalidad para tratar con sistemas complejos; y al hacer uso del nuevo paradigma de puerto, permite capturar de manera adecuada la naturaleza física del fenómeno de interconexión entre sistemas físicos; así al analizar un sistema físico basándonos en el enfoque port-Hamiltoniano se obtiene de manera correcta la naturaleza física del sistema. Además, al usar este enfoque las propiedades energéticas del sistema se muestran de manera explícita y es posible utilizarlas para el diseño de controladores energéticos que regulen apropiadamente el comportamiento del sistema. La presente tesis se ha organizado en seis capítulos, los que están expuestos en el orden siguiente: En el capítulo 1, se hace una breve reseña histórica donde se muestran los orígenes del modelamiento basado en puertos y su posterior evolución hacia los sistemas port-Hamiltonianos. Luego se establece la formulación del problema, en donde se muestra los inconvenientes que presenta la teoría de sistemas clásico para el adecuado modelamiento de sistemas físicos y se propone la alternativa de solución que ofrece el enfoque port-Hamiltoniano. Finalmente se muestran los objetivos a los que se desean llegar en la presente Tesis. En el capítulo 2, se presenta el enfoque comportamental como el marco adecuado para establecer los sistemas port-Hamiltonianos. El capítulo muestra como el enfoque comportamental provee un lenguaje que respeta la naturaleza física de un sistema y que además debido a su generalidad lo convierten en el marco adecuado para presentar los sistemas port-Hamiltonianos. Se presenta los conceptos de universo, comportamiento, ecuaciones de comportamiento para obtener el modelo de un sistema. Se establece desde un punto de vista comportamental los conceptos de estado, entradas y salidas. Finalmente se da la representación comportamental de los sistemas dinámicos continuos e invariantes en el tiempo, esto debido a que los sistemas físicos son un subconjunto de estos. En el capítulo 3, se presenta los conceptos básicos del modelamiento basado en puertos y del diagrama de lazos. Se establece el nuevo paradigma de puerto, como la interfase mediante el cual un sistema físico interactúa con su entorno, y demostrando por que el modelamiento basado en puertos es superior al modelamiento tradicional. Se muestra que en cada dominio físico existen dos variables conjugadas de potencia que lo caracterizan. Se muestra el diagrama de lazos como la herramienta grafica para representar la interconexión entre los componentes de un sistema. Se lista los elementos básicos que componen el diagrama de lazos y el tipo de conexiones entre estos componentes. Finalmente se estudia el concepto de causalidad y causalidad diferencial. En el capítulo 4, se presenta el enfoque port-Hamiltoniano para el modelamiento de sistemas físicos. El capítulo empieza estableciendo que el enfoque port-Hamiltoniano contribuye a mejorar la rigurosidad del modelamiento basado en puertos al darle un fundamento matemático. Se formaliza matemáticamente la noción de puerto, y se presenta los conceptos de Hamiltoniano y estructura Dirac, que representan matemáticamente la energía y las interconexiones de un sistema respectivamente. Entonces se presentan los sistemas port-Hamiltonianos implícitos, es decir aquellos que son intrínsicos a cada sistema, demostrando que la energía, la estructura de interconexiones y los puertos a través del cual un sistema se comunica con el mundo externo, son los ingredientes esenciales para modelar el comportamiento de un sistema físico. Finalmente con el fin de tener una representación en base a ecuaciones diferenciales se presentan los sistemas port-Hamiltonianos explícitos. En el capítulo 5, se presenta las estrategias de control de los sistemas port-Hamiltonianos. Se establece que la idea fundamental de cualquier técnica de control es moldear la energía del sistema controlado tal que el punto mínimo de la función de energía coincida con la configuración deseada. La primera estrategia de control se basa en la relación existente entre los sistemas port-Hamiltonianos y los sistemas pasivos, para entonces desarrollar técnicas de control basadas en la pasividad. La segunda estrategia de control usa el concepto control por interconexión, que considera al controlador como otro sistema port-Hamiltoniano, demostrando que la conexión de dos sistemas port-Hamiltonianos resulta en otro sistema port-Hamiltoniano. Se mostrara que el principal inconveniente de las técnicas anteriormente mencionadas es el llamado obstáculo de disipación que se presenta cuando un sistema es capaz de disipar una cantidad infinita de energía. Finalmente, se demuestra que es posible combinar las técnicas anteriormente mencionadas dando lugar a la llamada técnica de control basada en pasividad por interconexión y asignamiento de amortiguación que supera el inconveniente de la disipación y que permite explotar todos los grados de libertad del formalismo port-Hamiltoniano. En el capitulo 6, se muestra la aplicación del enfoque port-Hamiltoniano en el modelamiento y control de un manipulador robótico. Primero, se identificara el modelo port-Hamiltoniano de un manipulador robótico de cualquier grado de libertad. Luego, se implementara una técnica de control basada en la pasividad que moldee la energía total del manipulador tal que estabilice la configuración que se desea lograr. Finalmente se aplicaran los resultados obtenidos en el caso de un manipulador de dos grados de libertad, y se hará una comparación de los resultados obtenidos respecto a los que se obtienen usando las técnicas clásicas de control de posición de robots basadas en el Lagrangiano. Finalmente, se presentan las Conclusiones, Recomendaciones para investigaciones posteriores, el apéndice A, donde se presentan los conceptos matemáticos usados en el presente trabajo, y el apéndice B, que contiene el listado de programas desarrollados en MATLAB. Quisiera finalizar este prólogo expresando mi agradecimiento a mi asesor de tesis, el Ing. Ricardo Rodríguez Bustinza por sus valiosas sugerencias en el desarrollo de la presente Tesis y por su tiempo en la revisión de la misma.