Dinámica de grafos de un ciclo para funciones de grado diferente de uno

Abstract

El estudio de la dinámica en espacios de dimensión 1 es un área muy dinámica en estos días. El principal resultado, desde el cual comenzó todo es el teorema de Sharkovskii que afirma que dado el orden sobre los enteros positivos siguiente 1»2»4»…»2n.7» 2n.5 » 2n.3»…»2.5»2.3»…9»7»5»3, llamado orden de Sharkovskii, toda aplicación continua de un intervalo en sí mismo tiene un conjunto de periodos que es el conjunto de sucesores de cierto n con dicho orden. (Entre otros, Alsedá et al. (1993) expone una prueba muy clara de este resultado.) Luego del estudio de la dinámica de un intervalo, es completamente natural estudiar la dinámica de aplicaciones continuas del círculo. En el estudio de la dinámica de éste, aparece la noción de grado de una aplicación. Se ha observado que el caso del grado 1 es el más complicado a estudiar y que el caso del grado de valor absoluto mayor o igual que dos es el más rápido. Luego del intervalo, los espacios unidimensionales más manejables son los grafos. Entre éstos, el caso de los árboles ha sido ya analizado y descortezado a fondo, llegando a conclusiones sobre los periodos posibles a partir de las propiedades combinatorias del árbol. Dado que el recubrimiento universal de un grafo es siempre un árbol, y que el recubrimiento universal de un grafo con un solo ciclo es un árbol infinito que posee una “traslación“, la intuición dice que quizás procedimientos análogos a los del círculo puedan permitir hal¬lar los periodos posibles de aplicaciones continuas de grafos con un solo ciclo, a partir de periodos de su levantamiento. El objetivo de este trabajo es explorar esa analogía para obtener resultados concretos.