Aplicación del principio de conservación de energía y principio de Hamilton para la demostración de la existencia de una trayectoria más rápida en el desplazamiento de un cuerpo en movimiento

Abstract

La aplicación del principio de conservación de energía y principio de Hamilton son útiles en la demostración de la existencia de una trayectoria más rápida en el desplazamiento de un cuerpo en movimiento, estos principios se usan para realizar una formulación variacional y funcional del problema, que provienen del análisis de la dinámica de un cuerpo, y también de la conservación de energía; gracias a este funcional se conocerá el tiempo en el cual un cuerpo recorre una curva en el espacio. Para conocer la trayectoria más rápida se utiliza el principio de Hamilton aplicado al funcional, de esta forma se obtiene la curva más rápida, contenida en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con tres variables dependientes y una independiente que es el parámetro “ ”, cabe resaltar que las ecuaciones de este sistema poseerán la forma de una ecuación de Euler-Lagrange , por ende al resolver este sistema de ecuaciones diferenciales se obtiene las tres componentes en el espacio de la curva más rápida, misma que coincide con la curva cicloide del problema de la braquistocrona; es decir se llega al mismo resultado ya estudiado por Newton y Johann Bernoulli de una manera alterna y novedosa, pero esta vez generalizando el problema a tres dimensiones y tomando en cuenta la velocidad inicial del cuerpo; de esta manera se demuestra que existe una curva solución en un espacio tridimensional tal que representa el camino más rápido entre dos puntos y es única.