Estudio del método de Galerkin discontinuo nodal aplicado a la ecuación de advección lineal 1D

Abstract

The present work focuses on Nodal Discontinuous Galerkin Method applied to the one-dimensional linear advection equation, which approximates the global solution, partitioning its domain into elements. In each element the local solution is approximated by using interpolation in such a way that the total numerical solution is a direct sum of those approximations (polynomials). This method aims at reaching a high order through a simple implementation. This model is studied by Hesthaven and Warburton [16], with the particularity of Joining the best of the Finite Volumes Method and the best of Finit Element Method . First, the main results are revised in detail concerning the Jacobi orthogonal polynomials; more precisely, its generation formula and other results which help implementing the method. Concepts regarding interpolation and best approximation are studied. Furthermore, some notions about Sobolev space interpolation is revised. Secondly, theoretical aspects of the method are explained in detail , as well as its functioning. Thirdly, both the two method consistency theorems (better approximation and interpolation), proposed by Canuto and Quarteroni [4], and error behavior theorem based on Hesthaven and Warburton [16] are explained in detail. Finally, the consistency theorem referred to the interpolation is veri ed numerically through the usage of the Python language as well as the error behavior. It is worth mentioning that, from our numerical results, we propose a new bound for the consistency (relation 4.2 (4.2)), whose demonstration will remain for a future investigation.

El presente trabajo consiste en el estudio del método numérico Galerkin Discontinuo Nodal aplicado a la ecuación de advección lineal unidimensional, el cual aproxima la solución global, particionando su dominio en elementos. En cada elemento se aproxima la solución local usando interpolación; de tal manera que la solución numérica total es una suma directa de dichas aproximaciones (polinomios). El método busca alcanzar un alto orden mediante una implementación sencilla. Este modelo es estudiado por Hesthaven y Warburton[16], con la particularidad de Fusionar lo mejor del método de Volúmenes Finitos con lo mejor del método de Elementos Finitos . Primero se revisan en detalle los principales resultados sobre los polinomios ortogonales de Jacobi; más precisamente, su fórmula de generación y otros resultados que ayudan en la implementación del método. Se estudian los conceptos de interpolación y mejor aproximación. Además, se revisan algunas nociones de interpolación de espacios de Sobolev. Segundo, se detallan aspectos teóricos del método, así como su funcionamiento. Tercero, se brinda en detalle tanto la demostración de los dos teoremas de consistencia del método (mejor aproximación e interpolación) propuestos en Canuto y Quarteroni[4] como el comportamiento del error basado en Hesthaven y Warburton [16] . Finalmente, se veri ca numéricamente, mediante el uso del lenguaje Python, el teorema de consistencia referido a interpolación, así como el comportamiento del error. Se propone una nueva cota para el consistencia (relación (4.2)) basados en los resultados numéricos, cuya demostración quedará para una futura investigación.