La propiedad del árbol finito y el teorema de Enflo

Abstract

Investiga las propiedades de los conjuntos convexos en los espacios de Banach. Concretamente buscamos entender la respuesta de Enflo a la siguiente interrogante: ¿bajo qué condiciones un espacio de Banach admite una norma uniformemente convexa equivalente?. Empezamos este manuscrito estudiando los espacios normados estrictamente convexo y damos ejemplos variados. Se introduce el concepto de convexidad estricta y damos una aplicación al estudio de la existencia y unicidad de la mejor aproximación en espacios normados. Luego, investigamos los espacios normados uniformemente convexos definido por Clarkson en 1936. Se demuestra el teorema de Milman-Pettis, que conecta la convexidad de un espacio de banach (propiedad métrica) con la reflexividad (propiedad topológica). Además, introducimos es concepto de árboles en espacio de Banach, definido por R. C. James, y estudiamos las propiedades del árbol finito y del árbol infinito. Finalmente, detallamos la demostración de Enflo al teorema que caracteriza la existencia de una norma uniformemente convexa con la propiedad del árbol finito.