Estructura extremal de los conjuntos de convexos

Abstract

Explica que un conjunto convexo C y el conjunto de sus combinaciones convexas Co(C), llamado casco convexo de C, surgen dos preguntas de modo natural ¿siempre es posible expresar C como el casco convexo de algún subconjunto propio S? y más aún ¿cúal es el subconjunto más pequeño S C C tal que Co(S) = C? El teorema de Krein-Milman responde de modo satisfactorio a las interrogantes planteadas en el caso que C sea compacto, haciendo uso para ello de los puntos extremos de C. El teorema de Krein Milman dice que dado C Rn convexo y compacto entonces C = Co(Ext(C)), donde Ext(C) es el conjunto de los puntos extremos de C. Así pues, se tiene una representación extrema del conjunto convexo C, en el caso compacto. Pero > para el caso no compacto, en Rn, se podría obtener alguna fórmula de representación extrema del conjunto responder dicha cuestión fue el principal objetivo para la elaboración del presente trabajo. Noten que, al dar respuesta a esta interrogante, implícitamente generalizamos el teorema de Krein-Milman. Nociones como los puntos extremos y rayos extremos son los que hacen de esta representación, lo que se denomina: \Estructura extrema de los conjuntos convexos.