Análisis comparativo de respuestas dinámicas transitorias en vigas Timoshenko con un factor de perturbación mediante el método de elementos finitos

Abstract

El actual proyecto de investigación presenta el análisis comparativo de las respuestas dinámicas transitorias de una viga en condiciones normales y considerando un factor de perturbación. Este fue realizado a través de un modelo matemático que permite su simplificación y desarrollo aplicando el método de los elementos finitos para finalmente sea implementado de forma computacional a través de una programación en Matlab.

En el proceso de la elaboración del modelo matemático, se utiliza la expansión de Taylor para reducir el problema tridimensional a una dimensión. De esta manera, se introduce la teoría de Timoshenko, junto a su tensor de deformaciones de Green-Lagrange. Asimismo, se definen las ecuaciones de los trabajos virtuales interno y externo, así como la variación de la energía cinética, para finalmente arribar a la ecuación variacional de la viga Timoshenko utilizando el Principio de Hamilton.

Con la ecuación variacional obtenida, se establece un modelo semidiscreto de elementos finitos para su desarrollo. Se utiliza una formulación desacoplada que permite que la función de forma dependa únicamente de la posición, generando una aproximación espacial y temporal de forma separada. Esto da como resultado un sistema de ecuaciones algebraicas, las cuales se implementan computacionalmente en Matlab.

El modelo es validado y verificado a través de la comparación con resultados de investigaciones similares en la literatura o benchmarks. De esta forma, se comprueba la precisión y eficacia del modelo propuesto para las diferentes condiciones de borde.

The current research presents the comparative analysis of dynamic transient responses of a beam in normal conditions and considering a disturbance ratio. It was made through a mathematical model that permits its simplification and development applying the Finite Element Method to finally be implemented computationally through MATLAB programming.

In the development process of the mathematical model, Taylor expansion is used to reduce from a 3D problem to a only 1D problem. Hence, Timoshenko theory is introduced next to its Green-Lagrange strain tensor. In addition to this, external and internal virtual work equations are defined as well as the variation of the kinetic energy. Finally, the variational equation is achieved using the Hamilton’s Principle.

A semi discretized model is set of finite elements for its development. An uncoupled formulation is used, where the shape function only depends on the position. This produces a spatial and temporal approximation in a separated way from each other. It results on an algebraic system of equations, which are implemented computationally in MATLAB.

The model is validated and verified through comparing with results of similar research or benchmarks. In this way, the accuracy and efficiency of the proposed model is checked for different boundary conditions.