Conjuntos de rotación para endomorfismos del círculo con extremos racionales e irracionales

Abstract

En este trabajo estudiamos la dinámica de los endomorfismos del círculo. Esto es, aplicaciones continuas de grado 1. Newhouse, Palis y Takens (Newhouse et al., 1979) introdujeron el concepto de conjunto de rotación y presentaron herramientas para comprender las propiedades topológicas del conjunto de rotación, así como las propiedades dinámicas de los endomorfismos, las cuales pueden ser extraídas de estos conjuntos. Posteriormente R. Ito (Ito, 1981) demostró que el conjunto de rotación es cerrado. Siendo así, podemos denotar por ρpƒq rρ1pƒ q, ρ2pƒ qs al conjunto de rotación; donde ρ1pƒq, pρ2pƒ qq denota los extremos inicial y final del conjunto de rotación. Nosotros estudiaremos la estructura de la función ρpGq ρ2pf RGq, donde RG es una rotación de ángulo G. Se presentan dos estudios, el primero cuando los extremos del conjunto de rotación son números irracionales, en el cual se obtiene: ρ1pƒ RGq ¡ ρ1pƒq y ρ2pƒ RGq ¡ ρ2pƒ q. Para algún G ¡ 0. El resultado de este estudio, nos dice que si el endomorfismo no es estructuralmente estable, entonces los extremos del intervalo de rotación son números irracionales. El segundo estudio se realiza cuando los extremos del intervalo de rotación son números racionales, en este caso se introduce la noción de C0-persistencia; el resultado de este estudio nos da que el conjunto de endomorfismos del círculo C0-persistentes es abierto y denso en el espacio de todos los endomorfismos del círculo de grado 1.