Una estructura topológica sobre el grupo fundamental

Abstract

En este trabajo nos dedicamos a la construcción de una cierta estructura de grupo topológico sobre el grupo fundamental. Sabemos que, si el grupo fundamental es visto como el cociente del espacio de lazos, entonces no siempre resulta que esto sea un grupo topológico; así para un análisis apropiado usamos grupos topológicos libres, los cuales nos permite construir una topología sobre este espacio de lazos, la cual promueve el grupo fundamental de cualquier espacio tenga una estructura de grupo topológico. El invariante resultante de esta construccio´n, denotado por πτ 1 toma valores en la categor´ıa de grupos topol´ogicos que pueden distinguir espacios con grupos fundamentales isomorfos y coinciden con el grupo fundamental cociente precisamente cuando la topología cociente produce un grupo topológico. Así, lo mas importante, de la elección de esta topología es que nos permitirá realizar de forma natural grupos topológicos libres y pushouts de grupos topológicos como grupos fundamentales de espacios topológicos, a través de análogos resultados clásicos en topología algebraica.