Comparação do desempenho computacional da técnica de superposição modal avançada com técnicas da transformada de Laplace

Abstract

Una técnica conocida para resolver problemas dependientes del tiempo es la formulación en el dominio de la frecuencia por medio de la transformada de Laplace, con las consecuentes expresiones apropiadas de esos resultados utilizando inversiones numéricas. Aunque de fácil implementación, tales inversiones numéricas, son computacionalmente pesadas cuando resultados mas exactos son deseados y susceptibles a instabilidades numéricas. Para problemas generales de dinámica algoritmos más robustos son necesarios, usualmente basados en expansiones en series de Fourier tal como fue propuesto inicialmente por Dubner-Abat. Mas recientemente, fue propuesto resolver problemas transcientes de potencial y elasticidad con el uso de una técnica avanzada de superposición modal que es aplicado a modelos de elementos finitos y elementos de contorno basados en equilibrio. El método inicia con una formulación en el dominio de la frecuencia la cual lleva a una matriz de rigidez efectiva, simétrica compleja (cuando amortiguamiento viscoso es considerado), expresada como una serie de potencias de frecuencias con matrices generalizadas de rigidez, amortiguamiento y masa. Después de la solución del problema de autovalor no lineal asociado, se obtiene una solución modal avanzada del problema, que permite una rápida solución en el dominio del tiempo obteniendo las expresiones de cualquier resultado de interés.

Uma técnica bem conhecida para resolver problemas dependentes do tempo é a formulação, desses problemas, no domínio da frequência por meio da transformada de Laplace ou Fourier, com as consequêntes expressões apropriadas desses resultados utilizando inversões numéricas. Embora de fácil implementação, tais inversões numéricas, são computacionalmente dispendiosas quando resultados mais exatos são desejados e suscetíveis a instabilidades num´ericas. Para problemas de tipo difusão, o algoritmo de Gaver-Stehfest parece ser satisfatório. Problemas gerais de dinâmica demandam algoritmos mais robustos, usualmente baseados em expansões em séries de Fourier tal como foi proposto inicialmente por Dubner e Abate. Algoritmos de outros tipos já são implementados em softwares matemáticos tais como Matlab e Mathematica. A livraria de Fortran possui um algoritmo proposto por Crump e aperfei¸coado por de Hoog e colegas. Mais recentemente, foi proposto resolver problemas transientes de potencial e elasticidade pelo uso de uma técnica avançada de superposição modal que é aplicado a modelos de elementos finitos e elementos de contorno baseados em equilíbrio. O método começa com a formulação no domínio da frequência a qual leva a uma matriz de rigidez efetiva, simétrica-complexa (quando amortecimento viscoso é considerado), expressa como uma série de potências de frequência com matrizes generalizadas de rigidez, amortecimento e massa. Após a solução do problema de autovalor não linear associado, obtém-se uma solução modal avançada do problema, a qual permite uma rápida solução no domínio do tempo obtendo as expressões imediatamente de qualquer resultado de interesse. O objetivo deste trabalho é comparar o desempenho computacional da técnica de superposição modal avançada com as técnicas baseadas em transformadas inversas numéricas de Laplace como aplicações a problemas generais de grande porte. A bibliografia relevante é revista e as principais diferenças conceituais desses métodos são brevemente tratados. Todos os algoritmos são implementados em Fortran com o intuito de garantir uma base comum de comparação. Alguns resultados iniciais são mostrados, conclusões mais definitivas so poderão ser obtidas após uma grande série de simulações numéricas.