La conjetura de Kakeya

Abstract

En el año 1917 el matemático japonés Soichi Kakeya propuso el siguiente problema conocido mundialmente como el Problema de la aguja de Kakeya: ¿Cuál es el área mínima que se requiere para rotar continuamente un segmento de línea de longitud 1 en el plano, de manera que después del giro vuelva a ocupar su posición original pero con los extremos invertidos? De la pregunta anterior se ve claramente que el giro es de 180° e implícitamente se pide que tal conjunto con área mínima, conocido como conjunto de Kakeya, sea convexo. Este problema tendría una solución trivial a no ser por una restricción: EL ÁREA DEBE SER MÍNIMA ... pero si no fuera por esto dejaría de ser interesante pues fácilmente giraríamos este segmento de línea unitario(al que llamaremos aguja) por su punto medio y así se barreña un área ¡ (que corresponde al círculo de radio ~)- Esta solución trivial puede ser mejorada dado que otros conjuntos proveen un área menor para dicha rotación de la aguja. Históricamente, como ya se mencionó, el problema se planteó para conjuntos convexos. El matemático alemán J. PSI en su artículo Ein Mínimum problem furOvale publicado en el año 1921 probó que el triángulo equilátero de altura 1 es el conjunto de Kakeya que resuelve el problema para este tipo de conjuntos (el área correspondiente es ~ ). Sin embargo, para conjuntos en general el problema quedaba abierto. Se conjeturó que la hipocicloide de tres cuemos(o deltoide) era el conjunto de Kakeya que resolvía el problema para los conjuntos simplemente conexos (el área barrida es pi/8 = 0.392699 ... ). Sin embargo, la respuesta era muy diferente. En 1928, el matemático ruso Abram Besicovitch resolvió el problema cuando observó que, aún con la restricción de que sea simplemente conexo, se puede rotar una aguja en un conjunto con un área arbitrariamente pequeña. La prueba se basa en dos observaciones: La primera es la respuesta a la siguiente cuestión: "¿Cuál es el área mínima necesaria para pasar de una recta a otra paralela a ella?" La respuesta: usar las llamadas conexiones de Pál. El problema de usar conexiones de Pál es que cuando más pequeña es el área utilizada para pasar de una recta a otra, más largas son las conexiones requeridas originando un problema de no acotación. La segunda cuestión es el llamado Problema de Besicovitch el cual dice así: "¿Existe un conjunto plano de medida cero que contiene un segmento de longitud 1 en cada dirección?" La respuesta es afirmativa. Tal conjunto se conoce como conjunto de Besicovítch. La solución usa los llamados árboles de Perron, nombre que nos da una idea de la forma que tienen esos conjuntos: tienen "tronco" y "ramas" (ver fig. 2.3). Debe indicarse que la construcción original de Besicovitch no usaba árboles de Perron. Éstos fueron utilizados por el autor del mismo nombre cuando presentó una versión mejorada de la prueba de Besicovitch. Combinando estas dos respuestas, la solución es fácil de prever: Construim9s un árbol de Perron de área menor que . Para pasar de una "rama" a otra, colocamos conexiones de Pal de manera que el área total de dichas conexiones sea menor de·~ . Por consiguiente, el área total es menor que E. Los árboles de Perron se construyen a partir de un triángulo cualquiera. Por consiguiente, para completar el conjunto necesario para responder al problema de Kakeya, basta comenzar con un triángulo recto en uno de sus vértices, realizar la construcción anterior y repetirla cuatro veces girando 90" cada vez. No obstante, hay un problema en la mencionada construcción: Cuanto más pequeño es el conjunto, aparece el problema de no acotación pues las conexiones de Pal utilizadas deben ser muy largas. Resolviendo este problema, en 1941, A H. Van Alphen fue capaz de realizar la construcción en un circulo de radio 2 +E, para cualquier E> o y en 1971 F. Cunningham la realizó en un círculo de radio 1 y además probó que no se puede hacer en un círculo de radio menor.