Solución númerica de la educación del calor mediante el método de los elementos finitos

Abstract

El método de los elementos finitos (MEF) es un método numérico avanzado que permite obtener una aproximación de la solución de un problema de contorno, asociado a una ecuación diferencial parcial, bajo ciertas condiciones de frontera. Con el objetivo de encontrar una solución aproximada de la ecuación del calor mediante el método de los elementos finitos, con polinomios de primer grado, de presentó algunas definiciones y teoremas importantes del análisis funcional, tales como los espacios de Hilbert, Sobolev, el teorema de Lax-Milgram y el elemento finito triangular. Se necesita del método de Galerkin para obtener de la formulación variacional. del modelo un sistema de ecuaciones lineales en el caso estacionario, y un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en el caso no estacionario. Asimismo se necesita de la técnica de integración del tiempo. Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se aplicó el método de diferencias hacia adelante y el método de diferencias hacia atrás para la derivada del tiempo. Para llevar acabo esta tarea se tuvo que elaborar un programa en MATLAB 7.0 el cual se aplicó a un modelo de la ecuación del calor homogénea con condiciones de Dirichelt homogénea y/o no homogénea y condición de Neumann homogénea y obtener valores de la solución aproximada los cuales compararemos con la solución analítica para demostrar la eficiencia con base al error absoluto. Estos resultados se encuentran plasmados en este trabajo.