Homología de Hochschild y homología cíclica para intersección completa con singularidades aisladas
Valqui Haase, Christian Holger
2009
Universidad Nacional de Ingeniería
La tesis de doctorado se realizó en cooperación con la Universidad de Buenos Aires y la UNI. Asesor Externo: Dr. Guillermo Cortiñas, UBA, Buenos Aires, Argentina. Asesor Local: Dr. Christian Valqui, UNI. Sea A = R / I un anillo regular de funciones de una variedad algebraica con una singularidad aislada en el punto racional  donde (R, ) es un anillo r.l.e.t.f de dimensión m,e I es un ideal de intersección completa. El teorema de HKR para el álgebra diferencial graduada R ® A V nos lleva a expresar homología cíclica y de Hochschild del álgebra R / I en función de la cohomología de los complejos Lj y Dj. En el primer capítulo desarrollamos las herramientas necesarias para poder llegar a este resultado. En este trabajo suponemos que el anillo R / I tiene sólo una singularidad aislada en  . En caso de que el ideal I = (f) sea principal, los módulos de cohomología de los complejos Lj y Dj fueron calculados por Hülb en “Divided Powers and Hochschild Homology of Complete Intersections” y por Michler en “Torsion of diferentials of hypersurfaces with isolated singularities” cuando R es el anillo de polinomios. La fórmula Hm-1 (Lj) = Tor.(R/I,R/Jf) para valores j ≥ m se debe a que ht(Jf) = dim(R) = m. Nuestro estudio se centra en calcular los módulos de cohomología de los complejos Lj y Dj, cuando el ideal I = (f1,…fr) es generado por una intersección completa con una singularidad aislada en . Los cálculos que se presentan no se encuentran en la literatura. En este caso se tiene que ht(JF ) = m-r+I para una icis I = (f1,…fr). Notemos que en el caso particular que r = 1 obtenemos ht(JF) = m. Uno de los principales resultados del trabajo es el Teorema de Clasificación de Singularidades Aisladas. A grandes rasgos este teorema nos dice que toda icis I = (f1,…fr) puede ser generado por elementos g1… gr, donde cada uno de los g1 tiene una singularidad aislada en . Este teorema permite generalizar los métodos de cálculos para un solo polinomio, al caso de un ideal que sea una icis generado por r polinomios. En el caso que el ideal este generado por una secuencia regular de longitud dos llegamos a los siguientes resultados: H' (Lj) = 0, para todo i < m-1, e ij. Cuando j = m + k > m-1 presentamos la secuencia espectral E que converge a la cohomología del complejo Lm+k, y colapsa en E2. Calculamos los módulos de cohomología de los complejos Lm+k en nivel m y m - 2, para el término en grado m-1 hallamos su dimensión. Cuando Lm-1 llegamos a la siguiente igualdad Hm_l(Lm_1) = Tor.(Jf / Jfg,R/I). Mostramos que la cohomología de los complejos Lj para j<m-1es exacta. En la Sección 2.3 generábamos los resultados de la sección anterior al caso de r polinomios. En el tercer capítulo, debido a que los complejos L,tienen cohomología cero para todo término menor que m - r , y al saber la imagen de la aplicación S en la secuencia SBI expresamos los módulos de cohomología de los complejos Dj, para grados menores que m - r - 1, en función de la cohomología de Rham del álgebra R/I2, para algún s adecuado. Los demás términos se encuentran en secuencia exacta corta, y pueden ser calculados de manera recurrente. Cuando S= 0 expresamos los módulos de cohomología de los complejos Dj en función de los módulos de cohomología de los complejos Lj. Los complejos que proporcionan la homología cíclica negativa Ω2p para p>0 se descompone en casi un producto tensorial de complejos. En el caso r=2 esto permite tomar un subcomplejo Ω2m. El complejo cociente Ω2m / Ω2mf es isomorfo a Ω2mf. Mostramos una secuencia espectral que se genera a partir de este subcomplejo. Este estudio permite presentar una secuencia espectral que converge a la cohomología de Ω2m.
Tesis



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